Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54257 / 14767
↖ ↑ ↗
← N 79.974721°
W 30.978699°		 ← 53.17 m → N 79.974721°
W 30.975952°		 →
↑
53.13 m
↓
↑
53.13 m
↓
N 79.974243°
W 30.978699°		 ← 53.17 m →
2 825 m²		 N 79.974243°
W 30.975952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413951873779297 y=0.112667083740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413951873779297 × 217)
    floor (0.413951873779297 × 131072)
    floor (54257.5)     		tx = 54257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112667083740234 × 217)
    floor (0.112667083740234 × 131072)
    floor (14767.5)     		ty = 14767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54257 / 14767 ti = "17/54257/14767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54257/14767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54257 ÷ 217
    54257 ÷ 131072     		x = 0.413948059082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14767 ÷ 217
    14767 ÷ 131072     		y = 0.112663269042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413948059082031 × 2 - 1) × π
    -0.172103881835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.54068029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112663269042969 × 2 - 1) × π
    0.774673461914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.43370845681063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54068029} λ = -0.54068029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43370845681063))-π/2
    2×atan(11.4010842076301)-π/2
    2×1.48330926413325-π/2
    2.96661852826651-1.57079632675     		φ = 1.39582220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54068029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.978699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39582220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.974721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54257 KachelY 14767 -0.54068029 1.39582220 -30.978699 79.974721
    Oben rechts KachelX + 1 54258 KachelY 14767 -0.54063235 1.39582220 -30.975952 79.974721
    Unten links KachelX 54257 KachelY + 1 14768 -0.54068029 1.39581386 -30.978699 79.974243
    Unten rechts KachelX + 1 54258 KachelY + 1 14768 -0.54063235 1.39581386 -30.975952 79.974243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39582220-1.39581386) × R
    8.33999999994006e-06 × 6371000     		dl = 53.1341399996181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39582220-1.39581386) × R
    8.33999999994006e-06 × 6371000     		dr = 53.1341399996181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54068029--0.54063235) × cos(1.39582220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174082659503611 × 6371000     		do = 53.1693251000235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54068029--0.54063235) × cos(1.39581386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174090872154458 × 6371000     		du = 53.1718334549858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39582220)-sin(1.39581386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174082659503611-0.174090872154458)×R²
    abs(-0.54063235--0.54068029)×8.21265084682832e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.21265084682832e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.21265084682832e-06×40589641000000     		ar = 2825.17300316613m²