Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54257 / 12916
↖ ↑ ↗
← N 80.822149°
W 30.978699°		 ← 48.72 m → N 80.822149°
W 30.975952°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
N 80.821711°
W 30.978699°		 ← 48.72 m →
2 371 m²		 N 80.821711°
W 30.975952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413951873779297 y=0.0985450744628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413951873779297 × 217)
    floor (0.413951873779297 × 131072)
    floor (54257.5)     		tx = 54257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0985450744628906 × 217)
    floor (0.0985450744628906 × 131072)
    floor (12916.5)     		ty = 12916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54257 / 12916 ti = "17/54257/12916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54257/12916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54257 ÷ 217
    54257 ÷ 131072     		x = 0.413948059082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12916 ÷ 217
    12916 ÷ 131072     		y = 0.098541259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413948059082031 × 2 - 1) × π
    -0.172103881835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.54068029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098541259765625 × 2 - 1) × π
    0.80291748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52243965800735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54068029} λ = -0.54068029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52243965800735))-π/2
    2×atan(12.4589552061211)-π/2
    2×1.49070447050562-π/2
    2.98140894101125-1.57079632675     		φ = 1.41061261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54068029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.978699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41061261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.822149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54257 KachelY 12916 -0.54068029 1.41061261 -30.978699 80.822149
    Oben rechts KachelX + 1 54258 KachelY 12916 -0.54063235 1.41061261 -30.975952 80.822149
    Unten links KachelX 54257 KachelY + 1 12917 -0.54068029 1.41060497 -30.978699 80.821711
    Unten rechts KachelX + 1 54258 KachelY + 1 12917 -0.54063235 1.41060497 -30.975952 80.821711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41061261-1.41060497) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41061261-1.41060497) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54068029--0.54063235) × cos(1.41061261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159499574156919 × 6371000     		do = 48.7152754665299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54068029--0.54063235) × cos(1.41060497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159507116344963 × 6371000     		du = 48.7175790448945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41061261)-sin(1.41060497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159499574156919-0.159507116344963)×R²
    abs(-0.54063235--0.54068029)×7.5421880441906e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.5421880441906e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.5421880441906e-06×40589641000000     		ar = 2371.24481540912m²