Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54256 / 12913
↖ ↑ ↗
← N 80.823463°
W 30.981445°		 ← 48.71 m → N 80.823463°
W 30.978699°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
N 80.823026°
W 30.981445°		 ← 48.71 m →
2 371 m²		 N 80.823026°
W 30.978699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413944244384766 y=0.0985221862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413944244384766 × 217)
    floor (0.413944244384766 × 131072)
    floor (54256.5)     		tx = 54256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0985221862792969 × 217)
    floor (0.0985221862792969 × 131072)
    floor (12913.5)     		ty = 12913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54256 / 12913 ti = "17/54256/12913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54256/12913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54256 ÷ 217
    54256 ÷ 131072     		x = 0.4139404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12913 ÷ 217
    12913 ÷ 131072     		y = 0.0985183715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4139404296875 × 2 - 1) × π
    -0.172119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54072823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0985183715820312 × 2 - 1) × π
    0.802963256835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.52258346870621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54072823} λ = -0.54072823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52258346870621))-π/2
    2×atan(12.4607470660175)-π/2
    2×1.49071593856386-π/2
    2.98143187712772-1.57079632675     		φ = 1.41063555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54072823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.981445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41063555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.823463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54256 KachelY 12913 -0.54072823 1.41063555 -30.981445 80.823463
    Oben rechts KachelX + 1 54257 KachelY 12913 -0.54068029 1.41063555 -30.978699 80.823463
    Unten links KachelX 54256 KachelY + 1 12914 -0.54072823 1.41062791 -30.981445 80.823026
    Unten rechts KachelX + 1 54257 KachelY + 1 12914 -0.54068029 1.41062791 -30.978699 80.823026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41063555-1.41062791) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41063555-1.41062791) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54072823--0.54068029) × cos(1.41063555) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.159476927792895 × 6371000     		do = 48.7083586841525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54072823--0.54068029) × cos(1.41062791) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.159484470008892 × 6371000     		du = 48.7106622710546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41063555)-sin(1.41062791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159476927792895-0.159484470008892)×R²
    abs(-0.54068029--0.54072823)×7.54221599702509e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.54221599702509e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.54221599702509e-06×40589641000000     		ar = 2370.90814524434m²