Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54255 / 12911
↖ ↑ ↗
← N 80.824340°
W 30.984192°		 ← 48.69 m → N 80.824340°
W 30.981445°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
N 80.823902°
W 30.984192°		 ← 48.70 m →
2 370 m²		 N 80.823902°
W 30.981445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413936614990234 y=0.0985069274902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413936614990234 × 217)
    floor (0.413936614990234 × 131072)
    floor (54255.5)     		tx = 54255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0985069274902344 × 217)
    floor (0.0985069274902344 × 131072)
    floor (12911.5)     		ty = 12911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54255 / 12911 ti = "17/54255/12911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54255/12911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54255 ÷ 217
    54255 ÷ 131072     		x = 0.413932800292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12911 ÷ 217
    12911 ÷ 131072     		y = 0.0985031127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413932800292969 × 2 - 1) × π
    -0.172134399414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.54077616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0985031127929688 × 2 - 1) × π
    0.802993774414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.52267934250546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54077616} λ = -0.54077616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52267934250546))-π/2
    2×atan(12.4619417824502)-π/2
    2×1.49072358303155-π/2
    2.98144716606311-1.57079632675     		φ = 1.41065084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54077616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.984192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41065084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.824340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54255 KachelY 12911 -0.54077616 1.41065084 -30.984192 80.824340
    Oben rechts KachelX + 1 54256 KachelY 12911 -0.54072823 1.41065084 -30.981445 80.824340
    Unten links KachelX 54255 KachelY + 1 12912 -0.54077616 1.41064320 -30.984192 80.823902
    Unten rechts KachelX + 1 54256 KachelY + 1 12912 -0.54072823 1.41064320 -30.981445 80.823902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41065084-1.41064320) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41065084-1.41064320) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54077616--0.54072823) × cos(1.41065084) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.159461833460935 × 6371000     		do = 48.6935891730701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54077616--0.54072823) × cos(1.41064320) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.159469375695561 × 6371000     		du = 48.6958922851462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41065084)-sin(1.41064320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159461833460935-0.159469375695561)×R²
    abs(-0.54072823--0.54077616)×7.54223462598458e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.54223462598458e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.54223462598458e-06×40589641000000     		ar = 2370.18923597447m²