Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54254 / 12718
↖ ↑ ↗
← N 80.908484°
W 30.986938°		 ← 48.26 m → N 80.908484°
W 30.984192°		 →
↑
48.23 m
↓
↑
48.23 m
↓
N 80.908050°
W 30.986938°		 ← 48.26 m →
2 328 m²		 N 80.908050°
W 30.984192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413928985595703 y=0.0970344543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413928985595703 × 217)
    floor (0.413928985595703 × 131072)
    floor (54254.5)     		tx = 54254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970344543457031 × 217)
    floor (0.0970344543457031 × 131072)
    floor (12718.5)     		ty = 12718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54254 / 12718 ti = "17/54254/12718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54254/12718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54254 ÷ 217
    54254 ÷ 131072     		x = 0.413925170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12718 ÷ 217
    12718 ÷ 131072     		y = 0.0970306396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413925170898438 × 2 - 1) × π
    -0.172149658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54082410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0970306396484375 × 2 - 1) × π
    0.805938720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53193116413213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54082410} λ = -0.54082410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53193116413213))-π/2
    2×atan(12.5777724410185)-π/2
    2×1.4914578805545-π/2
    2.98291576110901-1.57079632675     		φ = 1.41211943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54082410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.986938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41211943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.908484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54254 KachelY 12718 -0.54082410 1.41211943 -30.986938 80.908484
    Oben rechts KachelX + 1 54255 KachelY 12718 -0.54077616 1.41211943 -30.984192 80.908484
    Unten links KachelX 54254 KachelY + 1 12719 -0.54082410 1.41211186 -30.986938 80.908050
    Unten rechts KachelX + 1 54255 KachelY + 1 12719 -0.54077616 1.41211186 -30.984192 80.908050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41211943-1.41211186) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dl = 48.2284699997246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41211943-1.41211186) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dr = 48.2284699997246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54082410--0.54077616) × cos(1.41211943) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.158011863961181 × 6371000     		do = 48.2608904792031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54082410--0.54077616) × cos(1.41211186) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.15801933885636 × 6371000     		du = 48.2631735045947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41211943)-sin(1.41211186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158011863961181-0.15801933885636)×R²
    abs(-0.54077616--0.54082410)×7.47489517957667e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.47489517957667e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.47489517957667e-06×40589641000000     		ar = 2327.6039620914m²