Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54253 / 89134
↖ ↑ ↗
← S 54.236340°
W 30.989685°		 ← 178.50 m → S 54.236340°
W 30.986938°		 →
↑
178.52 m
↓
↑
178.52 m
↓
S 54.237946°
W 30.989685°		 ← 178.50 m →
31 865 m²		 S 54.237946°
W 30.986938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413921356201172 y=0.680042266845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413921356201172 × 217)
    floor (0.413921356201172 × 131072)
    floor (54253.5)     		tx = 54253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680042266845703 × 217)
    floor (0.680042266845703 × 131072)
    floor (89134.5)     		ty = 89134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54253 / 89134 ti = "17/54253/89134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54253/89134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54253 ÷ 217
    54253 ÷ 131072     		x = 0.413917541503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89134 ÷ 217
    89134 ÷ 131072     		y = 0.680038452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413917541503906 × 2 - 1) × π
    -0.172164916992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.54087204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680038452148438 × 2 - 1) × π
    -0.360076904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13121495723409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54087204} λ = -0.54087204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13121495723409))-π/2
    2×atan(0.322641023152086)-π/2
    2×0.312096807920236-π/2
    0.624193615840472-1.57079632675     		φ = -0.94660271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54087204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.989685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94660271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.236340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54253 KachelY 89134 -0.54087204 -0.94660271 -30.989685 -54.236340
    Oben rechts KachelX + 1 54254 KachelY 89134 -0.54082410 -0.94660271 -30.986938 -54.236340
    Unten links KachelX 54253 KachelY + 1 89135 -0.54087204 -0.94663073 -30.989685 -54.237946
    Unten rechts KachelX + 1 54254 KachelY + 1 89135 -0.54082410 -0.94663073 -30.986938 -54.237946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94660271--0.94663073) × R
    2.80200000000175e-05 × 6371000     		dl = 178.515420000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94660271--0.94663073) × R
    2.80200000000175e-05 × 6371000     		dr = 178.515420000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54087204--0.54082410) × cos(-0.94660271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.584443135740933 × 6371000     		do = 178.503977221478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54087204--0.54082410) × cos(-0.94663073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.584420399112098 × 6371000     		du = 178.497032869791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94660271)-sin(-0.94663073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584443135740933-0.584420399112098)×R²
    abs(-0.54082410--0.54087204)×2.27366288347852e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27366288347852e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27366288347852e-05×40589641000000     		ar = 31865.0926306133m²