Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54253 / 50830
↖ ↑ ↗
← S 69.926530°
E118.020630°		 ← 209.64 m → S 69.926530°
E118.026123°		 →
↑
209.61 m
↓
↑
209.61 m
↓
S 69.928415°
E118.020630°		 ← 209.62 m →
43 939 m²		 S 69.928415°
E118.026123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827842712402344 y=0.775611877441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827842712402344 × 216)
    floor (0.827842712402344 × 65536)
    floor (54253.5)     		tx = 54253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775611877441406 × 216)
    floor (0.775611877441406 × 65536)
    floor (50830.5)     		ty = 50830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54253 / 50830 ti = "16/54253/50830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54253/50830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54253 ÷ 216
    54253 ÷ 65536     		x = 0.827835083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50830 ÷ 216
    50830 ÷ 65536     		y = 0.775604248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827835083007812 × 2 - 1) × π
    0.655670166015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05984858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775604248046875 × 2 - 1) × π
    -0.55120849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73167256187491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05984858} λ = 2.05984858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73167256187491))-π/2
    2×atan(0.176988138659863)-π/2
    2×0.175174074220019-π/2
    0.350348148440037-1.57079632675     		φ = -1.22044818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05984858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.020630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22044818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.926530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54253 KachelY 50830 2.05984858 -1.22044818 118.020630 -69.926530
    Oben rechts KachelX + 1 54254 KachelY 50830 2.05994445 -1.22044818 118.026123 -69.926530
    Unten links KachelX 54253 KachelY + 1 50831 2.05984858 -1.22048108 118.020630 -69.928415
    Unten rechts KachelX + 1 54254 KachelY + 1 50831 2.05994445 -1.22048108 118.026123 -69.928415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22044818--1.22048108) × R
    3.29000000001134e-05 × 6371000     		dl = 209.605900000722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22044818--1.22048108) × R
    3.29000000001134e-05 × 6371000     		dr = 209.605900000722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05984858-2.05994445) × cos(-1.22044818) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343224826267368 × 6371000     		do = 209.637526244478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05984858-2.05994445) × cos(-1.22048108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3431939246488 × 6371000     		du = 209.618651913784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22044818)-sin(-1.22048108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343224826267368-0.3431939246488)×R²
    abs(2.05994445-2.05984858)×3.09016185677247e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09016185677247e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09016185677247e-05×40589641000000     		ar = 43939.2842806692m²