Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54252 / 89133
↖ ↑ ↗
← S 54.234735°
W 30.992432°		 ← 178.51 m → S 54.234735°
W 30.989685°		 →
↑
178.52 m
↓
↑
178.52 m
↓
S 54.236340°
W 30.992432°		 ← 178.50 m →
31 866 m²		 S 54.236340°
W 30.989685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413913726806641 y=0.680034637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413913726806641 × 217)
    floor (0.413913726806641 × 131072)
    floor (54252.5)     		tx = 54252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680034637451172 × 217)
    floor (0.680034637451172 × 131072)
    floor (89133.5)     		ty = 89133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54252 / 89133 ti = "17/54252/89133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54252/89133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54252 ÷ 217
    54252 ÷ 131072     		x = 0.413909912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89133 ÷ 217
    89133 ÷ 131072     		y = 0.680030822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413909912109375 × 2 - 1) × π
    -0.17218017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54091998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680030822753906 × 2 - 1) × π
    -0.360061645507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.13116702033447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54091998} λ = -0.54091998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13116702033447))-π/2
    2×atan(0.322656489933138)-π/2
    2×0.312110816388628-π/2
    0.624221632777256-1.57079632675     		φ = -0.94657469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54091998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.992432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94657469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.234735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54252 KachelY 89133 -0.54091998 -0.94657469 -30.992432 -54.234735
    Oben rechts KachelX + 1 54253 KachelY 89133 -0.54087204 -0.94657469 -30.989685 -54.234735
    Unten links KachelX 54252 KachelY + 1 89134 -0.54091998 -0.94660271 -30.992432 -54.236340
    Unten rechts KachelX + 1 54253 KachelY + 1 89134 -0.54087204 -0.94660271 -30.989685 -54.236340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94657469--0.94660271) × R
    2.80199999999065e-05 × 6371000     		dl = 178.515419999404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94657469--0.94660271) × R
    2.80199999999065e-05 × 6371000     		dr = 178.515419999404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54091998--0.54087204) × cos(-0.94657469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58446587191091 × 6371000     		do = 178.510921433018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54091998--0.54087204) × cos(-0.94660271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.584443135740933 × 6371000     		du = 178.503977221478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94657469)-sin(-0.94660271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58446587191091-0.584443135740933)×R²
    abs(-0.54087204--0.54091998)×2.27361699765005e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27361699765005e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27361699765005e-05×40589641000000     		ar = 31866.3322918196m²