Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54252 / 12492
↖ ↑ ↗
← N 81.006043°
W 30.992432°		 ← 47.75 m → N 81.006043°
W 30.989685°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
N 81.005614°
W 30.992432°		 ← 47.75 m →
2 282 m²		 N 81.005614°
W 30.989685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413913726806641 y=0.0953102111816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413913726806641 × 217)
    floor (0.413913726806641 × 131072)
    floor (54252.5)     		tx = 54252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0953102111816406 × 217)
    floor (0.0953102111816406 × 131072)
    floor (12492.5)     		ty = 12492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54252 / 12492 ti = "17/54252/12492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54252/12492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54252 ÷ 217
    54252 ÷ 131072     		x = 0.413909912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12492 ÷ 217
    12492 ÷ 131072     		y = 0.095306396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413909912109375 × 2 - 1) × π
    -0.17218017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54091998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095306396484375 × 2 - 1) × π
    0.80938720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54276490344626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54091998} λ = -0.54091998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54276490344626))-π/2
    2×atan(12.7147775475812)-π/2
    2×1.49230924785957-π/2
    2.98461849571914-1.57079632675     		φ = 1.41382217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54091998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.992432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41382217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.006043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54252 KachelY 12492 -0.54091998 1.41382217 -30.992432 81.006043
    Oben rechts KachelX + 1 54253 KachelY 12492 -0.54087204 1.41382217 -30.989685 81.006043
    Unten links KachelX 54252 KachelY + 1 12493 -0.54091998 1.41381467 -30.992432 81.005614
    Unten rechts KachelX + 1 54253 KachelY + 1 12493 -0.54087204 1.41381467 -30.989685 81.005614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41382217-1.41381467) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dl = 47.7824999996057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41382217-1.41381467) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dr = 47.7824999996057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54091998--0.54087204) × cos(1.41382217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156330286868818 × 6371000     		do = 47.7472935512898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54091998--0.54087204) × cos(1.41381467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156337694650685 × 6371000     		du = 47.7495560785482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41382217)-sin(1.41381467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156330286868818-0.156337694650685)×R²
    abs(-0.54087204--0.54091998)×7.40778186680835e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.40778186680835e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.40778186680835e-06×40589641000000     		ar = 2281.53910872656m²