Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54251 / 89121
↖ ↑ ↗
← S 54.215467°
W 30.995178°		 ← 178.56 m → S 54.215467°
W 30.992432°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
S 54.217073°
W 30.995178°		 ← 178.55 m →
31 886 m²		 S 54.217073°
W 30.992432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413906097412109 y=0.679943084716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413906097412109 × 217)
    floor (0.413906097412109 × 131072)
    floor (54251.5)     		tx = 54251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679943084716797 × 217)
    floor (0.679943084716797 × 131072)
    floor (89121.5)     		ty = 89121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54251 / 89121 ti = "17/54251/89121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54251/89121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54251 ÷ 217
    54251 ÷ 131072     		x = 0.413902282714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89121 ÷ 217
    89121 ÷ 131072     		y = 0.679939270019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413902282714844 × 2 - 1) × π
    -0.172195434570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.54096791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679939270019531 × 2 - 1) × π
    -0.359878540039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.13059177753902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54096791} λ = -0.54096791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13059177753902))-π/2
    2×atan(0.322842149148817)-π/2
    2×0.312278960514157-π/2
    0.624557921028313-1.57079632675     		φ = -0.94623841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54096791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.995178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94623841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.215467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54251 KachelY 89121 -0.54096791 -0.94623841 -30.995178 -54.215467
    Oben rechts KachelX + 1 54252 KachelY 89121 -0.54091998 -0.94623841 -30.992432 -54.215467
    Unten links KachelX 54251 KachelY + 1 89122 -0.54096791 -0.94626644 -30.995178 -54.217073
    Unten rechts KachelX + 1 54252 KachelY + 1 89122 -0.54091998 -0.94626644 -30.992432 -54.217073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94623841--0.94626644) × R
    2.80300000000677e-05 × 6371000     		dl = 178.579130000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94623841--0.94626644) × R
    2.80300000000677e-05 × 6371000     		dr = 178.579130000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54096791--0.54091998) × cos(-0.94623841) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.584738702602058 × 6371000     		do = 178.55699724624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54096791--0.54091998) × cos(-0.94626644) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.584715963828047 × 6371000     		du = 178.550053688048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94623841)-sin(-0.94626644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584738702602058-0.584715963828047)×R²
    abs(-0.54091998--0.54096791)×2.27387740110441e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27387740110441e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27387740110441e-05×40589641000000     		ar = 31885.9332385336m²