Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54251 / 12715
N 80.909786°
W 30.995178°
← 48.24 m → N 80.909786°
W 30.992432°

48.29 m

48.29 m
N 80.909352°
W 30.995178°
← 48.25 m →
2 330 m²
N 80.909352°
W 30.992432°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413906097412109 y=0.0970115661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413906097412109 × 217)
    floor (0.413906097412109 × 131072)
    floor (54251.5)
    tx = 54251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970115661621094 × 217)
    floor (0.0970115661621094 × 131072)
    floor (12715.5)
    ty = 12715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54251 / 12715 ti = "17/54251/12715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54251/12715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54251 ÷ 217
    54251 ÷ 131072
    x = 0.413902282714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12715 ÷ 217
    12715 ÷ 131072
    y = 0.0970077514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.413902282714844 × 2 - 1) × π
    -0.172195434570312 × 3.1415926535
    Λ = -0.54096791
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.0970077514648438 × 2 - 1) × π
    0.805984497070312 × 3.1415926535
    Φ = 2.53207497483099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54096791} λ = -0.54096791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53207497483099))-π/2
    2×atan(12.5795813893333)-π/2
    2×1.49146924164581-π/2
    2.98293848329162-1.57079632675
    φ = 1.41214216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54096791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.995178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41214216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.909786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54251 KachelY 12715 -0.54096791 1.41214216 -30.995178 80.909786
    Oben rechts KachelX + 1 54252 KachelY 12715 -0.54091998 1.41214216 -30.992432 80.909786
    Unten links KachelX 54251 KachelY + 1 12716 -0.54096791 1.41213458 -30.995178 80.909352
    Unten rechts KachelX + 1 54252 KachelY + 1 12716 -0.54091998 1.41213458 -30.992432 80.909352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.41214216-1.41213458) × R
    7.579999999896e-06 × 6371000
    dl = 48.2921799993374m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.41214216-1.41213458) × R
    7.579999999896e-06 × 6371000
    dr = 48.2921799993374m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54096791--0.54091998) × cos(1.41214216) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157989419472498 × 6371000
    do = 48.2439698486732m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54096791--0.54091998) × cos(1.41213458) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157996904269261 × 6371000
    du = 48.2462554214068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.41214216)-sin(1.41213458))×
    abs(λ12)×abs(0.157989419472498-0.157996904269261)×
    abs(-0.54091998--0.54096791)×7.48479676279667e-06×
    4.79300000000293e-05×7.48479676279667e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.48479676279667e-06×40589641000000
    ar = 2329.86166346564m²