Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5425 / 2286
↖ ↑ ↗
← N 82.335313°
W120.399170°		 ← 162.94 m → N 82.335313°
W120.388183°		 →
↑
162.97 m
↓
↑
162.97 m
↓
N 82.333848°
W120.399170°		 ← 162.97 m →
26 556 m²		 N 82.333848°
W120.388183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165573120117188 y=0.0697784423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165573120117188 × 215)
    floor (0.165573120117188 × 32768)
    floor (5425.5)     		tx = 5425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0697784423828125 × 215)
    floor (0.0697784423828125 × 32768)
    floor (2286.5)     		ty = 2286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5425 / 2286 ti = "15/5425/2286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5425/2286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5425 ÷ 215
    5425 ÷ 32768     		x = 0.165557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2286 ÷ 215
    2286 ÷ 32768     		y = 0.06976318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165557861328125 × 2 - 1) × π
    -0.66888427734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10136193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06976318359375 × 2 - 1) × π
    0.8604736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.70325764337421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10136193} λ = -2.10136193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70325764337421))-π/2
    2×atan(14.9282836237852)-π/2
    2×1.50390931624112-π/2
    3.00781863248225-1.57079632675     		φ = 1.43702231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10136193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.399170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43702231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.335313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5425 KachelY 2286 -2.10136193 1.43702231 -120.399170 82.335313
    Oben rechts KachelX + 1 5426 KachelY 2286 -2.10117018 1.43702231 -120.388183 82.335313
    Unten links KachelX 5425 KachelY + 1 2287 -2.10136193 1.43699673 -120.399170 82.333848
    Unten rechts KachelX + 1 5426 KachelY + 1 2287 -2.10117018 1.43699673 -120.388183 82.333848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43702231-1.43699673) × R
    2.55799999999695e-05 × 6371000     		dl = 162.970179999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43702231-1.43699673) × R
    2.55799999999695e-05 × 6371000     		dr = 162.970179999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10136193--2.10117018) × cos(1.43702231) × R
    0.000191749999999935 × 0.133375381774749 × 6371000     		do = 162.936601359713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10136193--2.10117018) × cos(1.43699673) × R
    0.000191749999999935 × 0.133400733188952 × 6371000     		du = 162.967571642347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43702231)-sin(1.43699673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133375381774749-0.133400733188952)×R²
    abs(-2.10117018--2.10136193)×2.53514142029565e-05×R²
    0.000191749999999935×2.53514142029565e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.53514142029565e-05×40589641000000     		ar = 26556.3308697677m²