Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54249 / 89131
↖ ↑ ↗
← S 54.231524°
W 31.000672°		 ← 178.52 m → S 54.231524°
W 30.997925°		 →
↑
178.52 m
↓
↑
178.52 m
↓
S 54.233130°
W 31.000672°		 ← 178.52 m →
31 869 m²		 S 54.233130°
W 30.997925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413890838623047 y=0.680019378662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413890838623047 × 217)
    floor (0.413890838623047 × 131072)
    floor (54249.5)     		tx = 54249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680019378662109 × 217)
    floor (0.680019378662109 × 131072)
    floor (89131.5)     		ty = 89131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54249 / 89131 ti = "17/54249/89131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54249/89131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54249 ÷ 217
    54249 ÷ 131072     		x = 0.413887023925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89131 ÷ 217
    89131 ÷ 131072     		y = 0.680015563964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413887023925781 × 2 - 1) × π
    -0.172225952148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.54106379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680015563964844 × 2 - 1) × π
    -0.360031127929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.13107114653523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54106379} λ = -0.54106379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13107114653523))-π/2
    2×atan(0.322687425719619)-π/2
    2×0.312138834960111-π/2
    0.624277669920222-1.57079632675     		φ = -0.94651866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54106379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.000672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94651866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.231524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54249 KachelY 89131 -0.54106379 -0.94651866 -31.000672 -54.231524
    Oben rechts KachelX + 1 54250 KachelY 89131 -0.54101585 -0.94651866 -30.997925 -54.231524
    Unten links KachelX 54249 KachelY + 1 89132 -0.54106379 -0.94654668 -31.000672 -54.233130
    Unten rechts KachelX + 1 54250 KachelY + 1 89132 -0.54101585 -0.94654668 -30.997925 -54.233130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94651866--0.94654668) × R
    2.80200000000175e-05 × 6371000     		dl = 178.515420000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94651866--0.94654668) × R
    2.80200000000175e-05 × 6371000     		dr = 178.515420000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54106379--0.54101585) × cos(-0.94651866) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.584511334760361 × 6371000     		do = 178.524806957867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54106379--0.54101585) × cos(-0.94654668) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.584488599507991 × 6371000     		du = 178.517863026588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94651866)-sin(-0.94654668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584511334760361-0.584488599507991)×R²
    abs(-0.54101585--0.54106379)×2.27352523703983e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.27352523703983e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.27352523703983e-05×40589641000000     		ar = 31868.8110973351m²