Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54249 / 89127
↖ ↑ ↗
← S 54.225102°
W 31.000672°		 ← 178.55 m → S 54.225102°
W 30.997925°		 →
↑
178.52 m
↓
↑
178.52 m
↓
S 54.226708°
W 31.000672°		 ← 178.55 m →
31 874 m²		 S 54.226708°
W 30.997925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413890838623047 y=0.679988861083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413890838623047 × 217)
    floor (0.413890838623047 × 131072)
    floor (54249.5)     		tx = 54249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679988861083984 × 217)
    floor (0.679988861083984 × 131072)
    floor (89127.5)     		ty = 89127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54249 / 89127 ti = "17/54249/89127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54249/89127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54249 ÷ 217
    54249 ÷ 131072     		x = 0.413887023925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89127 ÷ 217
    89127 ÷ 131072     		y = 0.679985046386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413887023925781 × 2 - 1) × π
    -0.172225952148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.54106379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679985046386719 × 2 - 1) × π
    -0.359970092773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.13087939893674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54106379} λ = -0.54106379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13087939893674))-π/2
    2×atan(0.322749306191087)-π/2
    2×0.312194878642158-π/2
    0.624389757284317-1.57079632675     		φ = -0.94640657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54106379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.000672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94640657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.225102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54249 KachelY 89127 -0.54106379 -0.94640657 -31.000672 -54.225102
    Oben rechts KachelX + 1 54250 KachelY 89127 -0.54101585 -0.94640657 -30.997925 -54.225102
    Unten links KachelX 54249 KachelY + 1 89128 -0.54106379 -0.94643459 -31.000672 -54.226708
    Unten rechts KachelX + 1 54250 KachelY + 1 89128 -0.54101585 -0.94643459 -30.997925 -54.226708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94640657--0.94643459) × R
    2.80200000000175e-05 × 6371000     		dl = 178.515420000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94640657--0.94643459) × R
    2.80200000000175e-05 × 6371000     		dr = 178.515420000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54106379--0.54101585) × cos(-0.94640657) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.584602279293747 × 6371000     		do = 178.552583759276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54106379--0.54101585) × cos(-0.94643459) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.584579545877294 × 6371000     		du = 178.545640388733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94640657)-sin(-0.94643459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584602279293747-0.584579545877294)×R²
    abs(-0.54101585--0.54106379)×2.27334164523141e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.27334164523141e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.27334164523141e-05×40589641000000     		ar = 31873.7697345993m²