Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54249 / 89125
↖ ↑ ↗
← S 54.221891°
W 31.000672°		 ← 178.57 m → S 54.221891°
W 30.997925°		 →
↑
178.52 m
↓
↑
178.52 m
↓
S 54.223496°
W 31.000672°		 ← 178.56 m →
31 876 m²		 S 54.223496°
W 30.997925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413890838623047 y=0.679973602294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413890838623047 × 217)
    floor (0.413890838623047 × 131072)
    floor (54249.5)     		tx = 54249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679973602294922 × 217)
    floor (0.679973602294922 × 131072)
    floor (89125.5)     		ty = 89125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54249 / 89125 ti = "17/54249/89125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54249/89125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54249 ÷ 217
    54249 ÷ 131072     		x = 0.413887023925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89125 ÷ 217
    89125 ÷ 131072     		y = 0.679969787597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413887023925781 × 2 - 1) × π
    -0.172225952148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.54106379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679969787597656 × 2 - 1) × π
    -0.359939575195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.1307835251375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54106379} λ = -0.54106379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1307835251375))-π/2
    2×atan(0.322780250876642)-π/2
    2×0.312222903752886-π/2
    0.624445807505772-1.57079632675     		φ = -0.94635052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54106379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.000672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94635052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.221891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54249 KachelY 89125 -0.54106379 -0.94635052 -31.000672 -54.221891
    Oben rechts KachelX + 1 54250 KachelY 89125 -0.54101585 -0.94635052 -30.997925 -54.221891
    Unten links KachelX 54249 KachelY + 1 89126 -0.54106379 -0.94637854 -31.000672 -54.223496
    Unten rechts KachelX + 1 54250 KachelY + 1 89126 -0.54101585 -0.94637854 -30.997925 -54.223496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94635052--0.94637854) × R
    2.80200000000175e-05 × 6371000     		dl = 178.515420000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94635052--0.94637854) × R
    2.80200000000175e-05 × 6371000     		dr = 178.515420000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54106379--0.54101585) × cos(-0.94635052) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.584647752862556 × 6371000     		do = 178.56647255768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54106379--0.54101585) × cos(-0.94637854) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.584625020364252 × 6371000     		du = 178.559529467563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94635052)-sin(-0.94637854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584647752862556-0.584625020364252)×R²
    abs(-0.54101585--0.54106379)×2.2732498304312e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.2732498304312e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.2732498304312e-05×40589641000000     		ar = 31876.2491241988m²