Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54249 / 89123
↖ ↑ ↗
← S 54.218679°
W 31.000672°		 ← 178.58 m → S 54.218679°
W 30.997925°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
S 54.220285°
W 31.000672°		 ← 178.57 m →
31 890 m²		 S 54.220285°
W 30.997925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413890838623047 y=0.679958343505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413890838623047 × 217)
    floor (0.413890838623047 × 131072)
    floor (54249.5)     		tx = 54249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679958343505859 × 217)
    floor (0.679958343505859 × 131072)
    floor (89123.5)     		ty = 89123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54249 / 89123 ti = "17/54249/89123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54249/89123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54249 ÷ 217
    54249 ÷ 131072     		x = 0.413887023925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89123 ÷ 217
    89123 ÷ 131072     		y = 0.679954528808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413887023925781 × 2 - 1) × π
    -0.172225952148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.54106379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679954528808594 × 2 - 1) × π
    -0.359909057617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.13068765133826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54106379} λ = -0.54106379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13068765133826))-π/2
    2×atan(0.322811198529124)-π/2
    2×0.312250931043525-π/2
    0.62450186208705-1.57079632675     		φ = -0.94629446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54106379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.000672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94629446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.218679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54249 KachelY 89123 -0.54106379 -0.94629446 -31.000672 -54.218679
    Oben rechts KachelX + 1 54250 KachelY 89123 -0.54101585 -0.94629446 -30.997925 -54.218679
    Unten links KachelX 54249 KachelY + 1 89124 -0.54106379 -0.94632249 -31.000672 -54.220285
    Unten rechts KachelX + 1 54250 KachelY + 1 89124 -0.54101585 -0.94632249 -30.997925 -54.220285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94629446--0.94632249) × R
    2.80300000000677e-05 × 6371000     		dl = 178.579130000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94629446--0.94632249) × R
    2.80300000000677e-05 × 6371000     		dr = 178.579130000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54106379--0.54101585) × cos(-0.94629446) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.58469323270718 × 6371000     		do = 178.580363272879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54106379--0.54101585) × cos(-0.94632249) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.58467049301455 × 6371000     		du = 178.57341798543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94629446)-sin(-0.94632249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58469323270718-0.58467049301455)×R²
    abs(-0.54101585--0.54106379)×2.27396926296697e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.27396926296697e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.27396926296697e-05×40589641000000     		ar = 31890.1057688265m²