Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54249 / 50803
↖ ↑ ↗
← S 69.875562°
E117.998657°		 ← 210.17 m → S 69.875562°
E118.004151°		 →
↑
210.12 m
↓
↑
210.12 m
↓
S 69.877452°
E117.998657°		 ← 210.15 m →
44 158 m²		 S 69.877452°
E118.004151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827781677246094 y=0.775199890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827781677246094 × 216)
    floor (0.827781677246094 × 65536)
    floor (54249.5)     		tx = 54249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775199890136719 × 216)
    floor (0.775199890136719 × 65536)
    floor (50803.5)     		ty = 50803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54249 / 50803 ti = "16/54249/50803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54249/50803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54249 ÷ 216
    54249 ÷ 65536     		x = 0.827774047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50803 ÷ 216
    50803 ÷ 65536     		y = 0.775192260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827774047851562 × 2 - 1) × π
    0.655548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05946508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775192260742188 × 2 - 1) × π
    -0.550384521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72908396929543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05946508} λ = 2.05946508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72908396929543))-π/2
    2×atan(0.17744688233633)-π/2
    2×0.175618849264129-π/2
    0.351237698528257-1.57079632675     		φ = -1.21955863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05946508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.998657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21955863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.875562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54249 KachelY 50803 2.05946508 -1.21955863 117.998657 -69.875562
    Oben rechts KachelX + 1 54250 KachelY 50803 2.05956096 -1.21955863 118.004151 -69.875562
    Unten links KachelX 54249 KachelY + 1 50804 2.05946508 -1.21959161 117.998657 -69.877452
    Unten rechts KachelX + 1 54250 KachelY + 1 50804 2.05956096 -1.21959161 118.004151 -69.877452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21955863--1.21959161) × R
    3.29799999998492e-05 × 6371000     		dl = 210.11557999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21955863--1.21959161) × R
    3.29799999998492e-05 × 6371000     		dr = 210.11557999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05946508-2.05956096) × cos(-1.21955863) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.344060203113108 × 6371000     		do = 210.169684281578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05946508-2.05956096) × cos(-1.21959161) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.344029236434484 × 6371000     		du = 210.15076824011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21955863)-sin(-1.21959161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344060203113108-0.344029236434484)×R²
    abs(2.05956096-2.05946508)×3.09666786238449e-05×R²
    9.58800000003812e-05×3.09666786238449e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×3.09666786238449e-05×40589641000000     		ar = 44157.9378375805m²