Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54249 / 12505
↖ ↑ ↗
← N 81.000460°
W 31.000672°		 ← 47.78 m → N 81.000460°
W 30.997925°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
N 81.000030°
W 31.000672°		 ← 47.78 m →
2 283 m²		 N 81.000030°
W 30.997925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413890838623047 y=0.0954093933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413890838623047 × 217)
    floor (0.413890838623047 × 131072)
    floor (54249.5)     		tx = 54249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0954093933105469 × 217)
    floor (0.0954093933105469 × 131072)
    floor (12505.5)     		ty = 12505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54249 / 12505 ti = "17/54249/12505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54249/12505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54249 ÷ 217
    54249 ÷ 131072     		x = 0.413887023925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12505 ÷ 217
    12505 ÷ 131072     		y = 0.0954055786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413887023925781 × 2 - 1) × π
    -0.172225952148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.54106379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0954055786132812 × 2 - 1) × π
    0.809188842773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.5421417237512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54106379} λ = -0.54106379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5421417237512))-π/2
    2×atan(12.7068564247841)-π/2
    2×1.49226052193477-π/2
    2.98452104386954-1.57079632675     		φ = 1.41372472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54106379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.000672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41372472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.000460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54249 KachelY 12505 -0.54106379 1.41372472 -31.000672 81.000460
    Oben rechts KachelX + 1 54250 KachelY 12505 -0.54101585 1.41372472 -30.997925 81.000460
    Unten links KachelX 54249 KachelY + 1 12506 -0.54106379 1.41371722 -31.000672 81.000030
    Unten rechts KachelX + 1 54250 KachelY + 1 12506 -0.54101585 1.41371722 -30.997925 81.000030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41372472-1.41371722) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dl = 47.7824999996057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41372472-1.41371722) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dr = 47.7824999996057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54106379--0.54101585) × cos(1.41372472) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.156426537962557 × 6371000     		do = 47.7766911129314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54106379--0.54101585) × cos(1.41371722) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.156433945630128 × 6371000     		du = 47.778953605281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41372472)-sin(1.41371722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156426537962557-0.156433945630128)×R²
    abs(-0.54101585--0.54106379)×7.40766757104105e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.40766757104105e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.40766757104105e-06×40589641000000     		ar = 2282.9437968843m²