Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54246 / 50820
↖ ↑ ↗
← S 69.907667°
E117.982178°		 ← 209.83 m → S 69.907667°
E117.987671°		 →
↑
209.80 m
↓
↑
209.80 m
↓
S 69.909554°
E117.982178°		 ← 209.81 m →
44 019 m²		 S 69.909554°
E117.987671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827735900878906 y=0.775459289550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827735900878906 × 216)
    floor (0.827735900878906 × 65536)
    floor (54246.5)     		tx = 54246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775459289550781 × 216)
    floor (0.775459289550781 × 65536)
    floor (50820.5)     		ty = 50820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54246 / 50820 ti = "16/54246/50820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54246/50820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54246 ÷ 216
    54246 ÷ 65536     		x = 0.827728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50820 ÷ 216
    50820 ÷ 65536     		y = 0.77545166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827728271484375 × 2 - 1) × π
    0.65545654296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05917746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77545166015625 × 2 - 1) × π
    -0.5509033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73071382388251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05917746} λ = 2.05917746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73071382388251))-π/2
    2×atan(0.177157905280451)-π/2
    2×0.175338679660522-π/2
    0.350677359321045-1.57079632675     		φ = -1.22011897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05917746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.982178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22011897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.907667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54246 KachelY 50820 2.05917746 -1.22011897 117.982178 -69.907667
    Oben rechts KachelX + 1 54247 KachelY 50820 2.05927333 -1.22011897 117.987671 -69.907667
    Unten links KachelX 54246 KachelY + 1 50821 2.05917746 -1.22015190 117.982178 -69.909554
    Unten rechts KachelX + 1 54247 KachelY + 1 50821 2.05927333 -1.22015190 117.987671 -69.909554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22011897--1.22015190) × R
    3.29300000001531e-05 × 6371000     		dl = 209.797030000975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22011897--1.22015190) × R
    3.29300000001531e-05 × 6371000     		dr = 209.797030000975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05917746-2.05927333) × cos(-1.22011897) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343534019233932 × 6371000     		do = 209.826377527026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05917746-2.05927333) × cos(-1.22015190) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343503093159797 × 6371000     		du = 209.80748825917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22011897)-sin(-1.22015190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343534019233932-0.343503093159797)×R²
    abs(2.05927333-2.05917746)×3.09260741356288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09260741356288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09260741356288e-05×40589641000000     		ar = 44018.9693688954m²