Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54245 / 50109
↖ ↑ ↗
← S 68.522202°
E117.976685°		 ← 223.63 m → S 68.522202°
E117.982178°		 →
↑
223.69 m
↓
↑
223.69 m
↓
S 68.524213°
E117.976685°		 ← 223.61 m →
50 022 m²		 S 68.524213°
E117.982178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827720642089844 y=0.764610290527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827720642089844 × 216)
    floor (0.827720642089844 × 65536)
    floor (54245.5)     		tx = 54245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764610290527344 × 216)
    floor (0.764610290527344 × 65536)
    floor (50109.5)     		ty = 50109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54245 / 50109 ti = "16/54245/50109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54245/50109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54245 ÷ 216
    54245 ÷ 65536     		x = 0.827713012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50109 ÷ 216
    50109 ÷ 65536     		y = 0.764602661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827713012695312 × 2 - 1) × π
    0.655426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05908159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764602661132812 × 2 - 1) × π
    -0.529205322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66254755262279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05908159} λ = 2.05908159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66254755262279))-π/2
    2×atan(0.18965520752376)-π/2
    2×0.187429146334614-π/2
    0.374858292669228-1.57079632675     		φ = -1.19593803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05908159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.976685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19593803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.522202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54245 KachelY 50109 2.05908159 -1.19593803 117.976685 -68.522202
    Oben rechts KachelX + 1 54246 KachelY 50109 2.05917746 -1.19593803 117.982178 -68.522202
    Unten links KachelX 54245 KachelY + 1 50110 2.05908159 -1.19597314 117.976685 -68.524213
    Unten rechts KachelX + 1 54246 KachelY + 1 50110 2.05917746 -1.19597314 117.982178 -68.524213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19593803--1.19597314) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dl = 223.685810000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19593803--1.19597314) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dr = 223.685810000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05908159-2.05917746) × cos(-1.19593803) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366140669496752 × 6371000     		do = 223.634243028223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05908159-2.05917746) × cos(-1.19597314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366107997326529 × 6371000     		du = 223.614287266232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19593803)-sin(-1.19597314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366140669496752-0.366107997326529)×R²
    abs(2.05917746-2.05908159)×3.26721702225696e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26721702225696e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26721702225696e-05×40589641000000     		ar = 50021.5748902056m²