Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54243 / 50094
↖ ↑ ↗
← S 68.492013°
E117.965698°		 ← 223.93 m → S 68.492013°
E117.971191°		 →
↑
223.94 m
↓
↑
223.94 m
↓
S 68.494026°
E117.965698°		 ← 223.91 m →
50 146 m²		 S 68.494026°
E117.971191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827690124511719 y=0.764381408691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827690124511719 × 216)
    floor (0.827690124511719 × 65536)
    floor (54243.5)     		tx = 54243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764381408691406 × 216)
    floor (0.764381408691406 × 65536)
    floor (50094.5)     		ty = 50094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54243 / 50094 ti = "16/54243/50094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54243/50094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54243 ÷ 216
    54243 ÷ 65536     		x = 0.827682495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50094 ÷ 216
    50094 ÷ 65536     		y = 0.764373779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827682495117188 × 2 - 1) × π
    0.655364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05888984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764373779296875 × 2 - 1) × π
    -0.52874755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66110944563419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05888984} λ = 2.05888984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66110944563419))-π/2
    2×atan(0.189928148215042)-π/2
    2×0.187692597289013-π/2
    0.375385194578027-1.57079632675     		φ = -1.19541113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05888984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.965698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19541113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.492013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54243 KachelY 50094 2.05888984 -1.19541113 117.965698 -68.492013
    Oben rechts KachelX + 1 54244 KachelY 50094 2.05898571 -1.19541113 117.971191 -68.492013
    Unten links KachelX 54243 KachelY + 1 50095 2.05888984 -1.19544628 117.965698 -68.494026
    Unten rechts KachelX + 1 54244 KachelY + 1 50095 2.05898571 -1.19544628 117.971191 -68.494026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19541113--1.19544628) × R
    3.51499999999838e-05 × 6371000     		dl = 223.940649999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19541113--1.19544628) × R
    3.51499999999838e-05 × 6371000     		dr = 223.940649999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05888984-2.05898571) × cos(-1.19541113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366630930457641 × 6371000     		do = 223.933688427243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05888984-2.05898571) × cos(-1.19544628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366598227849881 × 6371000     		du = 223.913714074376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19541113)-sin(-1.19544628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366630930457641-0.366598227849881)×R²
    abs(2.05898571-2.05888984)×3.27026077592829e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27026077592829e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27026077592829e-05×40589641000000     		ar = 50145.6192136089m²