Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54242 / 12898
↖ ↑ ↗
← N 80.830031°
W 31.019897°		 ← 48.66 m → N 80.830031°
W 31.017151°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
N 80.829594°
W 31.019897°		 ← 48.67 m →
2 369 m²		 N 80.829594°
W 31.017151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413837432861328 y=0.0984077453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413837432861328 × 217)
    floor (0.413837432861328 × 131072)
    floor (54242.5)     		tx = 54242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0984077453613281 × 217)
    floor (0.0984077453613281 × 131072)
    floor (12898.5)     		ty = 12898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54242 / 12898 ti = "17/54242/12898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54242/12898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54242 ÷ 217
    54242 ÷ 131072     		x = 0.413833618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12898 ÷ 217
    12898 ÷ 131072     		y = 0.0984039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413833618164062 × 2 - 1) × π
    -0.172332763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54139934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0984039306640625 × 2 - 1) × π
    0.803192138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52330252220052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54139934} λ = -0.54139934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52330252220052))-π/2
    2×atan(12.4697102318486)-π/2
    2×1.49077325443944-π/2
    2.98154650887889-1.57079632675     		φ = 1.41075018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54139934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.019897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41075018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.830031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54242 KachelY 12898 -0.54139934 1.41075018 -31.019897 80.830031
    Oben rechts KachelX + 1 54243 KachelY 12898 -0.54135141 1.41075018 -31.017151 80.830031
    Unten links KachelX 54242 KachelY + 1 12899 -0.54139934 1.41074254 -31.019897 80.829594
    Unten rechts KachelX + 1 54243 KachelY + 1 12899 -0.54135141 1.41074254 -31.017151 80.829594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41075018-1.41074254) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41075018-1.41074254) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54139934--0.54135141) × cos(1.41075018) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159363763819556 × 6371000     		do = 48.6636424284099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54139934--0.54135141) × cos(1.41074254) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159371306175172 × 6371000     		du = 48.6659455774319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41075018)-sin(1.41074254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159363763819556-0.159371306175172)×R²
    abs(-0.54135141--0.54139934)×7.54235561639671e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.54235561639671e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.54235561639671e-06×40589641000000     		ar = 2368.73159572537m²