Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5424 / 2224
↖ ↑ ↗
← N 82.425629°
W120.410156°		 ← 161.03 m → N 82.425629°
W120.399170°		 →
↑
161 m
↓
↑
161 m
↓
N 82.424181°
W120.410156°		 ← 161.06 m →
25 927 m²		 N 82.424181°
W120.399170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165542602539062 y=0.0678863525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165542602539062 × 215)
    floor (0.165542602539062 × 32768)
    floor (5424.5)     		tx = 5424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0678863525390625 × 215)
    floor (0.0678863525390625 × 32768)
    floor (2224.5)     		ty = 2224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5424 / 2224 ti = "15/5424/2224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5424/2224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5424 ÷ 215
    5424 ÷ 32768     		x = 0.16552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2224 ÷ 215
    2224 ÷ 32768     		y = 0.06787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16552734375 × 2 - 1) × π
    -0.6689453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.10155368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06787109375 × 2 - 1) × π
    0.8642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.71514599447998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10155368} λ = -2.10155368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.71514599447998))-π/2
    2×atan(15.1068154225688)-π/2
    2×1.50469747043359-π/2
    3.00939494086717-1.57079632675     		φ = 1.43859861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10155368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.410156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43859861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.425629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5424 KachelY 2224 -2.10155368 1.43859861 -120.410156 82.425629
    Oben rechts KachelX + 1 5425 KachelY 2224 -2.10136193 1.43859861 -120.399170 82.425629
    Unten links KachelX 5424 KachelY + 1 2225 -2.10155368 1.43857334 -120.410156 82.424181
    Unten rechts KachelX + 1 5425 KachelY + 1 2225 -2.10136193 1.43857334 -120.399170 82.424181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43859861-1.43857334) × R
    2.52700000000772e-05 × 6371000     		dl = 160.995170000492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43859861-1.43857334) × R
    2.52700000000772e-05 × 6371000     		dr = 160.995170000492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10155368--2.10136193) × cos(1.43859861) × R
    0.000191749999999935 × 0.131813000028795 × 6371000     		do = 161.027934495372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10155368--2.10136193) × cos(1.43857334) × R
    0.000191749999999935 × 0.131838049495853 × 6371000     		du = 161.058535907523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43859861)-sin(1.43857334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131813000028795-0.131838049495853)×R²
    abs(-2.10136193--2.10155368)×2.5049467058641e-05×R²
    0.000191749999999935×2.5049467058641e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.5049467058641e-05×40589641000000     		ar = 25927.183030039m²