Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54238 / 50082
↖ ↑ ↗
← S 68.467832°
E117.938232°		 ← 224.17 m → S 68.467832°
E117.943725°		 →
↑
224.20 m
↓
↑
224.20 m
↓
S 68.469848°
E117.938232°		 ← 224.15 m →
50 256 m²		 S 68.469848°
E117.943725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827613830566406 y=0.764198303222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827613830566406 × 216)
    floor (0.827613830566406 × 65536)
    floor (54238.5)     		tx = 54238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764198303222656 × 216)
    floor (0.764198303222656 × 65536)
    floor (50082.5)     		ty = 50082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54238 / 50082 ti = "16/54238/50082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54238/50082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54238 ÷ 216
    54238 ÷ 65536     		x = 0.827606201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50082 ÷ 216
    50082 ÷ 65536     		y = 0.764190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827606201171875 × 2 - 1) × π
    0.65521240234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05841047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764190673828125 × 2 - 1) × π
    -0.52838134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6599589600433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05841047} λ = 2.05841047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6599589600433))-π/2
    2×atan(0.190146783557156)-π/2
    2×0.187903611994997-π/2
    0.375807223989995-1.57079632675     		φ = -1.19498910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05841047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.938232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19498910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.467832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54238 KachelY 50082 2.05841047 -1.19498910 117.938232 -68.467832
    Oben rechts KachelX + 1 54239 KachelY 50082 2.05850634 -1.19498910 117.943725 -68.467832
    Unten links KachelX 54238 KachelY + 1 50083 2.05841047 -1.19502429 117.938232 -68.469848
    Unten rechts KachelX + 1 54239 KachelY + 1 50083 2.05850634 -1.19502429 117.943725 -68.469848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19498910--1.19502429) × R
    3.51900000001848e-05 × 6371000     		dl = 224.195490001177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19498910--1.19502429) × R
    3.51900000001848e-05 × 6371000     		dr = 224.195490001177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05841047-2.05850634) × cos(-1.19498910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367023540355388 × 6371000     		do = 224.173489751167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05841047-2.05850634) × cos(-1.19502429) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366990805980048 × 6371000     		du = 224.153495995052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19498910)-sin(-1.19502429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367023540355388-0.366990805980048)×R²
    abs(2.05850634-2.05841047)×3.27343753391274e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27343753391274e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27343753391274e-05×40589641000000     		ar = 50256.4441302452m²