Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54234 / 18563
↖ ↑ ↗
← N 77.987334°
W 31.041870°		 ← 63.57 m → N 77.987334°
W 31.039123°		 →
↑
63.58 m
↓
↑
63.58 m
↓
N 77.986762°
W 31.041870°		 ← 63.57 m →
4 042 m²		 N 77.986762°
W 31.039123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413776397705078 y=0.141628265380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413776397705078 × 217)
    floor (0.413776397705078 × 131072)
    floor (54234.5)     		tx = 54234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141628265380859 × 217)
    floor (0.141628265380859 × 131072)
    floor (18563.5)     		ty = 18563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54234 / 18563 ti = "17/54234/18563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54234/18563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54234 ÷ 217
    54234 ÷ 131072     		x = 0.413772583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18563 ÷ 217
    18563 ÷ 131072     		y = 0.141624450683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413772583007812 × 2 - 1) × π
    -0.172454833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54178284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141624450683594 × 2 - 1) × π
    0.716751098632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.2517399858529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54178284} λ = -0.54178284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2517399858529))-π/2
    2×atan(9.50425873312447)-π/2
    2×1.46596603842897-π/2
    2.93193207685793-1.57079632675     		φ = 1.36113575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54178284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.041870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36113575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.987334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54234 KachelY 18563 -0.54178284 1.36113575 -31.041870 77.987334
    Oben rechts KachelX + 1 54235 KachelY 18563 -0.54173490 1.36113575 -31.039123 77.987334
    Unten links KachelX 54234 KachelY + 1 18564 -0.54178284 1.36112577 -31.041870 77.986762
    Unten rechts KachelX + 1 54235 KachelY + 1 18564 -0.54173490 1.36112577 -31.039123 77.986762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36113575-1.36112577) × R
    9.98000000018706e-06 × 6371000     		dl = 63.5825800011918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36113575-1.36112577) × R
    9.98000000018706e-06 × 6371000     		dr = 63.5825800011918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54178284--0.54173490) × cos(1.36113575) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208127921456572 × 6371000     		do = 63.5676244254937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54178284--0.54173490) × cos(1.36112577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20813768290032 × 6371000     		du = 63.570605821674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36113575)-sin(1.36112577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208127921456572-0.20813768290032)×R²
    abs(-0.54173490--0.54178284)×9.76144374803534e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.76144374803534e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.76144374803534e-06×40589641000000     		ar = 4041.88834803107m²