Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54233 / 12713
↖ ↑ ↗
← N 80.910653°
W 31.044617°		 ← 48.25 m → N 80.910653°
W 31.041870°		 →
↑
48.23 m
↓
↑
48.23 m
↓
N 80.910220°
W 31.044617°		 ← 48.25 m →
2 327 m²		 N 80.910220°
W 31.041870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413768768310547 y=0.0969963073730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413768768310547 × 217)
    floor (0.413768768310547 × 131072)
    floor (54233.5)     		tx = 54233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0969963073730469 × 217)
    floor (0.0969963073730469 × 131072)
    floor (12713.5)     		ty = 12713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54233 / 12713 ti = "17/54233/12713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54233/12713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54233 ÷ 217
    54233 ÷ 131072     		x = 0.413764953613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12713 ÷ 217
    12713 ÷ 131072     		y = 0.0969924926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413764953613281 × 2 - 1) × π
    -0.172470092773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.54183078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0969924926757812 × 2 - 1) × π
    0.806015014648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.53217084863023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54183078} λ = -0.54183078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53217084863023))-π/2
    2×atan(12.5807874994102)-π/2
    2×1.49147681481044-π/2
    2.98295362962088-1.57079632675     		φ = 1.41215730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54183078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.044617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41215730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.910653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54233 KachelY 12713 -0.54183078 1.41215730 -31.044617 80.910653
    Oben rechts KachelX + 1 54234 KachelY 12713 -0.54178284 1.41215730 -31.041870 80.910653
    Unten links KachelX 54233 KachelY + 1 12714 -0.54183078 1.41214973 -31.044617 80.910220
    Unten rechts KachelX + 1 54234 KachelY + 1 12714 -0.54178284 1.41214973 -31.041870 80.910220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41215730-1.41214973) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dl = 48.2284699997246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41215730-1.41214973) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dr = 48.2284699997246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54183078--0.54178284) × cos(1.41215730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157974469600604 × 6371000     		do = 48.2494692788405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54183078--0.54178284) × cos(1.41214973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157981944541078 × 6371000     		du = 48.251752318066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41215730)-sin(1.41214973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157974469600604-0.157981944541078)×R²
    abs(-0.54178284--0.54183078)×7.47494047348418e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.47494047348418e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.47494047348418e-06×40589641000000     		ar = 2327.05313522732m²