Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54226 / 21235
↖ ↑ ↗
← N 53.373498°
E117.872314°		 ← 364.43 m → N 53.373498°
E117.877808°		 →
↑
364.42 m
↓
↑
364.42 m
↓
N 53.370220°
E117.872314°		 ← 364.46 m →
132 812 m²		 N 53.370220°
E117.877808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827430725097656 y=0.324028015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827430725097656 × 216)
    floor (0.827430725097656 × 65536)
    floor (54226.5)     		tx = 54226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324028015136719 × 216)
    floor (0.324028015136719 × 65536)
    floor (21235.5)     		ty = 21235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54226 / 21235 ti = "16/54226/21235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54226/21235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54226 ÷ 216
    54226 ÷ 65536     		x = 0.827423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21235 ÷ 216
    21235 ÷ 65536     		y = 0.324020385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827423095703125 × 2 - 1) × π
    0.65484619140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05725998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324020385742188 × 2 - 1) × π
    0.351959228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10571252663622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05725998} λ = 2.05725998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10571252663622))-π/2
    2×atan(3.02137651326476)-π/2
    2×1.25116979922378-π/2
    2.50233959844756-1.57079632675     		φ = 0.93154327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05725998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.872314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93154327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.373498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54226 KachelY 21235 2.05725998 0.93154327 117.872314 53.373498
    Oben rechts KachelX + 1 54227 KachelY 21235 2.05735586 0.93154327 117.877808 53.373498
    Unten links KachelX 54226 KachelY + 1 21236 2.05725998 0.93148607 117.872314 53.370220
    Unten rechts KachelX + 1 54227 KachelY + 1 21236 2.05735586 0.93148607 117.877808 53.370220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93154327-0.93148607) × R
    5.71999999999795e-05 × 6371000     		dl = 364.421199999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93154327-0.93148607) × R
    5.71999999999795e-05 × 6371000     		dr = 364.421199999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05725998-2.05735586) × cos(0.93154327) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.596596154847036 × 6371000     		do = 364.431644150382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05725998-2.05735586) × cos(0.93148607) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.596642059250843 × 6371000     		du = 364.459684923386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93154327)-sin(0.93148607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596596154847036-0.596642059250843)×R²
    abs(2.05735586-2.05725998)×4.59044038068068e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.59044038068068e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.59044038068068e-05×40589641000000     		ar = 132811.726441763m²