Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54226 / 21226
↖ ↑ ↗
← N 53.402982°
E117.872314°		 ← 364.18 m → N 53.402982°
E117.877808°		 →
↑
364.17 m
↓
↑
364.17 m
↓
N 53.399707°
E117.872314°		 ← 364.21 m →
132 627 m²		 N 53.399707°
E117.877808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827430725097656 y=0.323890686035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827430725097656 × 216)
    floor (0.827430725097656 × 65536)
    floor (54226.5)     		tx = 54226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323890686035156 × 216)
    floor (0.323890686035156 × 65536)
    floor (21226.5)     		ty = 21226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54226 / 21226 ti = "16/54226/21226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54226/21226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54226 ÷ 216
    54226 ÷ 65536     		x = 0.827423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21226 ÷ 216
    21226 ÷ 65536     		y = 0.323883056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827423095703125 × 2 - 1) × π
    0.65484619140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05725998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323883056640625 × 2 - 1) × π
    0.35223388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10657539082938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05725998} λ = 2.05725998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10657539082938))-π/2
    2×atan(3.02398467595539)-π/2
    2×1.25142710084278-π/2
    2.50285420168556-1.57079632675     		φ = 0.93205787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05725998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.872314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93205787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.402982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54226 KachelY 21226 2.05725998 0.93205787 117.872314 53.402982
    Oben rechts KachelX + 1 54227 KachelY 21226 2.05735586 0.93205787 117.877808 53.402982
    Unten links KachelX 54226 KachelY + 1 21227 2.05725998 0.93200071 117.872314 53.399707
    Unten rechts KachelX + 1 54227 KachelY + 1 21227 2.05735586 0.93200071 117.877808 53.399707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93205787-0.93200071) × R
    5.71600000000005e-05 × 6371000     		dl = 364.166360000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93205787-0.93200071) × R
    5.71600000000005e-05 × 6371000     		dr = 364.166360000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05725998-2.05735586) × cos(0.93205787) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.596183087961991 × 6371000     		do = 364.179321632314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05725998-2.05735586) × cos(0.93200071) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.596228977808697 × 6371000     		du = 364.207353513091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93205787)-sin(0.93200071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596183087961991-0.596228977808697)×R²
    abs(2.05735586-2.05725998)×4.58898467063928e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.58898467063928e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.58898467063928e-05×40589641000000     		ar = 132626.962115965m²