Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54225 / 21231
↖ ↑ ↗
← N 53.386605°
E117.866821°		 ← 364.28 m → N 53.386605°
E117.872314°		 →
↑
364.29 m
↓
↑
364.29 m
↓
N 53.383329°
E117.866821°		 ← 364.31 m →
132 711 m²		 N 53.383329°
E117.872314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827415466308594 y=0.323966979980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827415466308594 × 216)
    floor (0.827415466308594 × 65536)
    floor (54225.5)     		tx = 54225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323966979980469 × 216)
    floor (0.323966979980469 × 65536)
    floor (21231.5)     		ty = 21231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54225 / 21231 ti = "16/54225/21231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54225/21231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54225 ÷ 216
    54225 ÷ 65536     		x = 0.827407836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21231 ÷ 216
    21231 ÷ 65536     		y = 0.323959350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827407836914062 × 2 - 1) × π
    0.654815673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05716411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323959350585938 × 2 - 1) × π
    0.352081298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10609602183318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05716411} λ = 2.05716411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10609602183318))-π/2
    2×atan(3.02253541884896)-π/2
    2×1.25128417750043-π/2
    2.50256835500086-1.57079632675     		φ = 0.93177203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05716411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.866821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93177203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.386605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54225 KachelY 21231 2.05716411 0.93177203 117.866821 53.386605
    Oben rechts KachelX + 1 54226 KachelY 21231 2.05725998 0.93177203 117.872314 53.386605
    Unten links KachelX 54225 KachelY + 1 21232 2.05716411 0.93171485 117.866821 53.383329
    Unten rechts KachelX + 1 54226 KachelY + 1 21232 2.05725998 0.93171485 117.872314 53.383329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93177203-0.93171485) × R
    5.717999999999e-05 × 6371000     		dl = 364.293779999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93177203-0.93171485) × R
    5.717999999999e-05 × 6371000     		dr = 364.293779999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05716411-2.05725998) × cos(0.93177203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.596412549820762 × 6371000     		do = 364.281491305029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05716411-2.05725998) × cos(0.93171485) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.596458445977293 × 6371000     		du = 364.309524116128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93177203)-sin(0.93171485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596412549820762-0.596458445977293)×R²
    abs(2.05725998-2.05716411)×4.58961565306115e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58961565306115e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58961565306115e-05×40589641000000     		ar = 132710.587577156m²