Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54225 / 21229
↖ ↑ ↗
← N 53.393157°
E117.866821°		 ← 364.23 m → N 53.393157°
E117.872314°		 →
↑
364.23 m
↓
↑
364.23 m
↓
N 53.389881°
E117.866821°		 ← 364.25 m →
132 667 m²		 N 53.389881°
E117.872314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827415466308594 y=0.323936462402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827415466308594 × 216)
    floor (0.827415466308594 × 65536)
    floor (54225.5)     		tx = 54225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323936462402344 × 216)
    floor (0.323936462402344 × 65536)
    floor (21229.5)     		ty = 21229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54225 / 21229 ti = "16/54225/21229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54225/21229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54225 ÷ 216
    54225 ÷ 65536     		x = 0.827407836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21229 ÷ 216
    21229 ÷ 65536     		y = 0.323928833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827407836914062 × 2 - 1) × π
    0.654815673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05716411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323928833007812 × 2 - 1) × π
    0.352142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10628776943166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05716411} λ = 2.05716411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10628776943166))-π/2
    2×atan(3.02311503832539)-π/2
    2×1.25134135343738-π/2
    2.50268270687476-1.57079632675     		φ = 0.93188638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05716411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.866821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93188638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.393157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54225 KachelY 21229 2.05716411 0.93188638 117.866821 53.393157
    Oben rechts KachelX + 1 54226 KachelY 21229 2.05725998 0.93188638 117.872314 53.393157
    Unten links KachelX 54225 KachelY + 1 21230 2.05716411 0.93182921 117.866821 53.389881
    Unten rechts KachelX + 1 54226 KachelY + 1 21230 2.05725998 0.93182921 117.872314 53.389881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93188638-0.93182921) × R
    5.71700000000508e-05 × 6371000     		dl = 364.230070000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93188638-0.93182921) × R
    5.71700000000508e-05 × 6371000     		dr = 364.230070000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05716411-2.05725998) × cos(0.93188638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.596320759685308 × 6371000     		do = 364.225427012887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05716411-2.05725998) × cos(0.93182921) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59636665171423 × 6371000     		du = 364.253457302893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93188638)-sin(0.93182921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596320759685308-0.59636665171423)×R²
    abs(2.05725998-2.05716411)×4.58920289221343e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58920289221343e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58920289221343e-05×40589641000000     		ar = 132666.957550166m²