Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54224 / 50096
↖ ↑ ↗
← S 68.496040°
E117.861328°		 ← 223.89 m → S 68.496040°
E117.866821°		 →
↑
223.88 m
↓
↑
223.88 m
↓
S 68.498054°
E117.861328°		 ← 223.87 m →
50 122 m²		 S 68.498054°
E117.866821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827400207519531 y=0.764411926269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827400207519531 × 216)
    floor (0.827400207519531 × 65536)
    floor (54224.5)     		tx = 54224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764411926269531 × 216)
    floor (0.764411926269531 × 65536)
    floor (50096.5)     		ty = 50096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54224 / 50096 ti = "16/54224/50096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54224/50096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54224 ÷ 216
    54224 ÷ 65536     		x = 0.827392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50096 ÷ 216
    50096 ÷ 65536     		y = 0.764404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827392578125 × 2 - 1) × π
    0.65478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05706824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764404296875 × 2 - 1) × π
    -0.52880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66130119323267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05706824} λ = 2.05706824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66130119323267))-π/2
    2×atan(0.189891733440072)-π/2
    2×0.18765745012416-π/2
    0.37531490024832-1.57079632675     		φ = -1.19548143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05706824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.861328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19548143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.496040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54224 KachelY 50096 2.05706824 -1.19548143 117.861328 -68.496040
    Oben rechts KachelX + 1 54225 KachelY 50096 2.05716411 -1.19548143 117.866821 -68.496040
    Unten links KachelX 54224 KachelY + 1 50097 2.05706824 -1.19551657 117.861328 -68.498054
    Unten rechts KachelX + 1 54225 KachelY + 1 50097 2.05716411 -1.19551657 117.866821 -68.498054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19548143--1.19551657) × R
    3.51399999998225e-05 × 6371000     		dl = 223.876939998869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19548143--1.19551657) × R
    3.51399999998225e-05 × 6371000     		dr = 223.876939998869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05706824-2.05716411) × cos(-1.19548143) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366565524789182 × 6371000     		do = 223.893739444859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05706824-2.05716411) × cos(-1.19551657) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366532830579634 × 6371000     		du = 223.873770221517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19548143)-sin(-1.19551657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366565524789182-0.366532830579634)×R²
    abs(2.05716411-2.05706824)×3.26942095482119e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26942095482119e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26942095482119e-05×40589641000000     		ar = 50122.4099523087m²