Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54224 / 21230
↖ ↑ ↗
← N 53.389881°
E117.861328°		 ← 364.25 m → N 53.389881°
E117.866821°		 →
↑
364.29 m
↓
↑
364.29 m
↓
N 53.386605°
E117.861328°		 ← 364.28 m →
132 700 m²		 N 53.386605°
E117.866821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827400207519531 y=0.323951721191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827400207519531 × 216)
    floor (0.827400207519531 × 65536)
    floor (54224.5)     		tx = 54224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323951721191406 × 216)
    floor (0.323951721191406 × 65536)
    floor (21230.5)     		ty = 21230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54224 / 21230 ti = "16/54224/21230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54224/21230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54224 ÷ 216
    54224 ÷ 65536     		x = 0.827392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21230 ÷ 216
    21230 ÷ 65536     		y = 0.323944091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827392578125 × 2 - 1) × π
    0.65478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05706824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323944091796875 × 2 - 1) × π
    0.35211181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10619189563242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05706824} λ = 2.05706824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10619189563242))-π/2
    2×atan(3.0228252146946)-π/2
    2×1.25131276656896-π/2
    2.50262553313791-1.57079632675     		φ = 0.93182921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05706824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.861328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93182921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.389881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54224 KachelY 21230 2.05706824 0.93182921 117.861328 53.389881
    Oben rechts KachelX + 1 54225 KachelY 21230 2.05716411 0.93182921 117.866821 53.389881
    Unten links KachelX 54224 KachelY + 1 21231 2.05706824 0.93177203 117.861328 53.386605
    Unten rechts KachelX + 1 54225 KachelY + 1 21231 2.05716411 0.93177203 117.866821 53.386605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93182921-0.93177203) × R
    5.717999999999e-05 × 6371000     		dl = 364.293779999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93182921-0.93177203) × R
    5.717999999999e-05 × 6371000     		dr = 364.293779999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05706824-2.05716411) × cos(0.93182921) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59636665171423 × 6371000     		do = 364.253457302893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05706824-2.05716411) × cos(0.93177203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.596412549820762 × 6371000     		du = 364.281491305029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93182921)-sin(0.93177203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59636665171423-0.596412549820762)×R²
    abs(2.05716411-2.05706824)×4.58981065327713e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58981065327713e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58981065327713e-05×40589641000000     		ar = 132700.375181294m²