Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54222 / 14782
↖ ↑ ↗
← N 79.967546°
W 31.074829°		 ← 53.20 m → N 79.967546°
W 31.072083°		 →
↑
53.20 m
↓
↑
53.20 m
↓
N 79.967068°
W 31.074829°		 ← 53.20 m →
2 830 m²		 N 79.967068°
W 31.072083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413684844970703 y=0.112781524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413684844970703 × 217)
    floor (0.413684844970703 × 131072)
    floor (54222.5)     		tx = 54222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112781524658203 × 217)
    floor (0.112781524658203 × 131072)
    floor (14782.5)     		ty = 14782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54222 / 14782 ti = "17/54222/14782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54222/14782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54222 ÷ 217
    54222 ÷ 131072     		x = 0.413681030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14782 ÷ 217
    14782 ÷ 131072     		y = 0.112777709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413681030273438 × 2 - 1) × π
    -0.172637939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54235808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112777709960938 × 2 - 1) × π
    0.774444580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43298940331633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54235808} λ = -0.54235808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43298940331633))-π/2
    2×atan(11.3928891648819)-π/2
    2×1.48324665459815-π/2
    2.96649330919629-1.57079632675     		φ = 1.39569698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54235808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.074829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39569698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.967546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54222 KachelY 14782 -0.54235808 1.39569698 -31.074829 79.967546
    Oben rechts KachelX + 1 54223 KachelY 14782 -0.54231015 1.39569698 -31.072083 79.967546
    Unten links KachelX 54222 KachelY + 1 14783 -0.54235808 1.39568863 -31.074829 79.967068
    Unten rechts KachelX + 1 54223 KachelY + 1 14783 -0.54231015 1.39568863 -31.072083 79.967068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39569698-1.39568863) × R
    8.35000000010133e-06 × 6371000     		dl = 53.1978500006456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39569698-1.39568863) × R
    8.35000000010133e-06 × 6371000     		dr = 53.1978500006456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54235808--0.54231015) × cos(1.39569698) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.17420596615972 × 6371000     		do = 53.1958874645527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54235808--0.54231015) × cos(1.39568863) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.174214188475775 × 6371000     		du = 53.1983982476747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39569698)-sin(1.39568863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17420596615972-0.174214188475775)×R²
    abs(-0.54231015--0.54235808)×8.22231605560053e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.22231605560053e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.22231605560053e-06×40589641000000     		ar = 2829.97362604859m²