Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54221 / 14875
↖ ↑ ↗
← N 79.922951°
W 31.077576°		 ← 53.44 m → N 79.922951°
W 31.074829°		 →
↑
53.45 m
↓
↑
53.45 m
↓
N 79.922470°
W 31.077576°		 ← 53.44 m →
2 857 m²		 N 79.922470°
W 31.074829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413677215576172 y=0.113491058349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413677215576172 × 217)
    floor (0.413677215576172 × 131072)
    floor (54221.5)     		tx = 54221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113491058349609 × 217)
    floor (0.113491058349609 × 131072)
    floor (14875.5)     		ty = 14875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54221 / 14875 ti = "17/54221/14875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54221/14875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54221 ÷ 217
    54221 ÷ 131072     		x = 0.413673400878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14875 ÷ 217
    14875 ÷ 131072     		y = 0.113487243652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413673400878906 × 2 - 1) × π
    -0.172653198242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.54240602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113487243652344 × 2 - 1) × π
    0.773025512695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.42853127165166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54240602} λ = -0.54240602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42853127165166))-π/2
    2×atan(11.3422112133692)-π/2
    2×1.48285748447933-π/2
    2.96571496895867-1.57079632675     		φ = 1.39491864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54240602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.077576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39491864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.922951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54221 KachelY 14875 -0.54240602 1.39491864 -31.077576 79.922951
    Oben rechts KachelX + 1 54222 KachelY 14875 -0.54235808 1.39491864 -31.074829 79.922951
    Unten links KachelX 54221 KachelY + 1 14876 -0.54240602 1.39491025 -31.077576 79.922470
    Unten rechts KachelX + 1 54222 KachelY + 1 14876 -0.54235808 1.39491025 -31.074829 79.922470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39491864-1.39491025) × R
    8.39000000008028e-06 × 6371000     		dl = 53.4526900005115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39491864-1.39491025) × R
    8.39000000008028e-06 × 6371000     		dr = 53.4526900005115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54240602--0.54235808) × cos(1.39491864) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.174972351901699 × 6371000     		do = 53.4410600592054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54240602--0.54235808) × cos(1.39491025) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.174980612465923 × 6371000     		du = 53.4435830481466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39491864)-sin(1.39491025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174972351901699-0.174980612465923)×R²
    abs(-0.54235808--0.54240602)×8.26056422489896e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.26056422489896e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.26056422489896e-06×40589641000000     		ar = 2856.6358468985m²