Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54218 / 14779
↖ ↑ ↗
← N 79.968982°
W 31.085815°		 ← 53.20 m → N 79.968982°
W 31.083069°		 →
↑
53.20 m
↓
↑
53.20 m
↓
N 79.968503°
W 31.085815°		 ← 53.20 m →
2 830 m²		 N 79.968503°
W 31.083069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413654327392578 y=0.112758636474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413654327392578 × 217)
    floor (0.413654327392578 × 131072)
    floor (54218.5)     		tx = 54218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112758636474609 × 217)
    floor (0.112758636474609 × 131072)
    floor (14779.5)     		ty = 14779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54218 / 14779 ti = "17/54218/14779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54218/14779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54218 ÷ 217
    54218 ÷ 131072     		x = 0.413650512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14779 ÷ 217
    14779 ÷ 131072     		y = 0.112754821777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413650512695312 × 2 - 1) × π
    -0.172698974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54254983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112754821777344 × 2 - 1) × π
    0.774490356445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.43313321401519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54254983} λ = -0.54254983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43313321401519))-π/2
    2×atan(11.3945277020515)-π/2
    2×1.48325918005195-π/2
    2.9665183601039-1.57079632675     		φ = 1.39572203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54254983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.085815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39572203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.968982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54218 KachelY 14779 -0.54254983 1.39572203 -31.085815 79.968982
    Oben rechts KachelX + 1 54219 KachelY 14779 -0.54250189 1.39572203 -31.083069 79.968982
    Unten links KachelX 54218 KachelY + 1 14780 -0.54254983 1.39571368 -31.085815 79.968503
    Unten rechts KachelX + 1 54219 KachelY + 1 14780 -0.54250189 1.39571368 -31.083069 79.968503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39572203-1.39571368) × R
    8.34999999987929e-06 × 6371000     		dl = 53.1978499992309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39572203-1.39571368) × R
    8.34999999987929e-06 × 6371000     		dr = 53.1978499992309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54254983--0.54250189) × cos(1.39572203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174181299138679 × 6371000     		do = 53.1994521835576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54254983--0.54250189) × cos(1.39571368) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174189521491171 × 6371000     		du = 53.201963501652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39572203)-sin(1.39571368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174181299138679-0.174189521491171)×R²
    abs(-0.54250189--0.54254983)×8.2223524918712e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.2223524918712e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.2223524918712e-06×40589641000000     		ar = 2830.16327568437m²