Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54217 / 50111
↖ ↑ ↗
← S 68.526224°
E117.822876°		 ← 223.59 m → S 68.526224°
E117.828369°		 →
↑
223.62 m
↓
↑
223.62 m
↓
S 68.528235°
E117.822876°		 ← 223.57 m →
49 998 m²		 S 68.528235°
E117.828369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827293395996094 y=0.764640808105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827293395996094 × 216)
    floor (0.827293395996094 × 65536)
    floor (54217.5)     		tx = 54217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764640808105469 × 216)
    floor (0.764640808105469 × 65536)
    floor (50111.5)     		ty = 50111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54217 / 50111 ti = "16/54217/50111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54217/50111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54217 ÷ 216
    54217 ÷ 65536     		x = 0.827285766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50111 ÷ 216
    50111 ÷ 65536     		y = 0.764633178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827285766601562 × 2 - 1) × π
    0.654571533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05639712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764633178710938 × 2 - 1) × π
    -0.529266357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66273930022127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05639712} λ = 2.05639712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66273930022127))-π/2
    2×atan(0.189618845079495)-π/2
    2×0.187394046169569-π/2
    0.374788092339138-1.57079632675     		φ = -1.19600823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05639712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.822876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19600823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.526224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54217 KachelY 50111 2.05639712 -1.19600823 117.822876 -68.526224
    Oben rechts KachelX + 1 54218 KachelY 50111 2.05649299 -1.19600823 117.828369 -68.526224
    Unten links KachelX 54217 KachelY + 1 50112 2.05639712 -1.19604333 117.822876 -68.528235
    Unten rechts KachelX + 1 54218 KachelY + 1 50112 2.05649299 -1.19604333 117.828369 -68.528235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19600823--1.19604333) × R
    3.51000000000656e-05 × 6371000     		dl = 223.622100000418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19600823--1.19604333) × R
    3.51000000000656e-05 × 6371000     		dr = 223.622100000418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05639712-2.05649299) × cos(-1.19600823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366075343316705 × 6371000     		do = 223.59434259639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05639712-2.05649299) × cos(-1.19604333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366042679550149 × 6371000     		du = 223.574391967255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19600823)-sin(-1.19604333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366075343316705-0.366042679550149)×R²
    abs(2.05649299-2.05639712)×3.26637665561402e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26637665561402e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26637665561402e-05×40589641000000     		ar = 49998.4057440891m²