Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54217 / 14873
↖ ↑ ↗
← N 79.923912°
W 31.088562°		 ← 53.44 m → N 79.923912°
W 31.085815°		 →
↑
53.45 m
↓
↑
53.45 m
↓
N 79.923432°
W 31.088562°		 ← 53.44 m →
2 856 m²		 N 79.923432°
W 31.085815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413646697998047 y=0.113475799560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413646697998047 × 217)
    floor (0.413646697998047 × 131072)
    floor (54217.5)     		tx = 54217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113475799560547 × 217)
    floor (0.113475799560547 × 131072)
    floor (14873.5)     		ty = 14873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54217 / 14873 ti = "17/54217/14873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54217/14873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54217 ÷ 217
    54217 ÷ 131072     		x = 0.413642883300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14873 ÷ 217
    14873 ÷ 131072     		y = 0.113471984863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413642883300781 × 2 - 1) × π
    -0.172714233398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.54259777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113471984863281 × 2 - 1) × π
    0.773056030273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.4286271454509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54259777} λ = -0.54259777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4286271454509))-π/2
    2×atan(11.3432986863792)-π/2
    2×1.48286587171544-π/2
    2.96573174343087-1.57079632675     		φ = 1.39493542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54259777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.088562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39493542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.923912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54217 KachelY 14873 -0.54259777 1.39493542 -31.088562 79.923912
    Oben rechts KachelX + 1 54218 KachelY 14873 -0.54254983 1.39493542 -31.085815 79.923912
    Unten links KachelX 54217 KachelY + 1 14874 -0.54259777 1.39492703 -31.088562 79.923432
    Unten rechts KachelX + 1 54218 KachelY + 1 14874 -0.54254983 1.39492703 -31.085815 79.923432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39493542-1.39492703) × R
    8.38999999985823e-06 × 6371000     		dl = 53.4526899990968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39493542-1.39492703) × R
    8.38999999985823e-06 × 6371000     		dr = 53.4526899990968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54259777--0.54254983) × cos(1.39493542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1749558307363 × 6371000     		do = 53.436014069914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54259777--0.54254983) × cos(1.39492703) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174964091325157 × 6371000     		du = 53.4385370663786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39493542)-sin(1.39492703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1749558307363-0.174964091325157)×R²
    abs(-0.54254983--0.54259777)×8.26058885741721e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.26058885741721e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.26058885741721e-06×40589641000000     		ar = 2856.36612543622m²