Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54216 / 14792
↖ ↑ ↗
← N 79.962761°
W 31.091308°		 ← 53.22 m → N 79.962761°
W 31.088562°		 →
↑
53.20 m
↓
↑
53.20 m
↓
N 79.962282°
W 31.091308°		 ← 53.22 m →
2 831 m²		 N 79.962282°
W 31.088562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413639068603516 y=0.112857818603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413639068603516 × 217)
    floor (0.413639068603516 × 131072)
    floor (54216.5)     		tx = 54216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112857818603516 × 217)
    floor (0.112857818603516 × 131072)
    floor (14792.5)     		ty = 14792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54216 / 14792 ti = "17/54216/14792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54216/14792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54216 ÷ 217
    54216 ÷ 131072     		x = 0.41363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14792 ÷ 217
    14792 ÷ 131072     		y = 0.11285400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41363525390625 × 2 - 1) × π
    -0.1727294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54264570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11285400390625 × 2 - 1) × π
    0.7742919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43251003432013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54264570} λ = -0.54264570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43251003432013))-π/2
    2×atan(11.3874290758424)-π/2
    2×1.48320489027278-π/2
    2.96640978054555-1.57079632675     		φ = 1.39561345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54264570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.091308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39561345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.962761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54216 KachelY 14792 -0.54264570 1.39561345 -31.091308 79.962761
    Oben rechts KachelX + 1 54217 KachelY 14792 -0.54259777 1.39561345 -31.088562 79.962761
    Unten links KachelX 54216 KachelY + 1 14793 -0.54264570 1.39560510 -31.091308 79.962282
    Unten rechts KachelX + 1 54217 KachelY + 1 14793 -0.54259777 1.39560510 -31.088562 79.962282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39561345-1.39560510) × R
    8.34999999987929e-06 × 6371000     		dl = 53.1978499992309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39561345-1.39560510) × R
    8.34999999987929e-06 × 6371000     		dr = 53.1978499992309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54264570--0.54259777) × cos(1.39561345) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.174288218314447 × 6371000     		do = 53.2210041496154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54264570--0.54259777) × cos(1.39560510) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.174296440508967 × 6371000     		du = 53.2235148956249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39561345)-sin(1.39560510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174288218314447-0.174296440508967)×R²
    abs(-0.54259777--0.54264570)×8.22219451943051e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.22219451943051e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.22219451943051e-06×40589641000000     		ar = 2831.30977863136m²