Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54215 / 50051
↖ ↑ ↗
← S 68.405246°
E117.811890°		 ← 224.82 m → S 68.405246°
E117.817383°		 →
↑
224.77 m
↓
↑
224.77 m
↓
S 68.407267°
E117.811890°		 ← 224.80 m →
50 530 m²		 S 68.407267°
E117.817383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827262878417969 y=0.763725280761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827262878417969 × 216)
    floor (0.827262878417969 × 65536)
    floor (54215.5)     		tx = 54215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763725280761719 × 216)
    floor (0.763725280761719 × 65536)
    floor (50051.5)     		ty = 50051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54215 / 50051 ti = "16/54215/50051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54215/50051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54215 ÷ 216
    54215 ÷ 65536     		x = 0.827255249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50051 ÷ 216
    50051 ÷ 65536     		y = 0.763717651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827255249023438 × 2 - 1) × π
    0.654510498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05620537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763717651367188 × 2 - 1) × π
    -0.527435302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65698687226686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05620537} λ = 2.05620537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65698687226686))-π/2
    2×atan(0.190712757133252)-π/2
    2×0.188449779610627-π/2
    0.376899559221254-1.57079632675     		φ = -1.19389677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05620537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.811890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19389677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.405246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54215 KachelY 50051 2.05620537 -1.19389677 117.811890 -68.405246
    Oben rechts KachelX + 1 54216 KachelY 50051 2.05630125 -1.19389677 117.817383 -68.405246
    Unten links KachelX 54215 KachelY + 1 50052 2.05620537 -1.19393205 117.811890 -68.407267
    Unten rechts KachelX + 1 54216 KachelY + 1 50052 2.05630125 -1.19393205 117.817383 -68.407267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19389677--1.19393205) × R
    3.52799999998599e-05 × 6371000     		dl = 224.768879999107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19389677--1.19393205) × R
    3.52799999998599e-05 × 6371000     		dr = 224.768879999107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05620537-2.05630125) × cos(-1.19389677) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.368039419285655 × 6371000     		do = 224.817423969877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05620537-2.05630125) × cos(-1.19393205) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.368006615353182 × 6371000     		du = 224.797385639175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19389677)-sin(-1.19393205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368039419285655-0.368006615353182)×R²
    abs(2.05630125-2.05620537)×3.28039324737905e-05×R²
    9.58800000003812e-05×3.28039324737905e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×3.28039324737905e-05×40589641000000     		ar = 50529.708598936m²