Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54215 / 21282
↖ ↑ ↗
← N 53.219191°
E117.811890°		 ← 365.75 m → N 53.219191°
E117.817383°		 →
↑
365.76 m
↓
↑
365.76 m
↓
N 53.215902°
E117.811890°		 ← 365.78 m →
133 782 m²		 N 53.215902°
E117.817383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827262878417969 y=0.324745178222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827262878417969 × 216)
    floor (0.827262878417969 × 65536)
    floor (54215.5)     		tx = 54215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324745178222656 × 216)
    floor (0.324745178222656 × 65536)
    floor (21282.5)     		ty = 21282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54215 / 21282 ti = "16/54215/21282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54215/21282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54215 ÷ 216
    54215 ÷ 65536     		x = 0.827255249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21282 ÷ 216
    21282 ÷ 65536     		y = 0.324737548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827255249023438 × 2 - 1) × π
    0.654510498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05620537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324737548828125 × 2 - 1) × π
    0.35052490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10120645807193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05620537} λ = 2.05620537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10120645807193))-π/2
    2×atan(3.00779261151848)-π/2
    2×1.24982321589855-π/2
    2.4996464317971-1.57079632675     		φ = 0.92885011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05620537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.811890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92885011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.219191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54215 KachelY 21282 2.05620537 0.92885011 117.811890 53.219191
    Oben rechts KachelX + 1 54216 KachelY 21282 2.05630125 0.92885011 117.817383 53.219191
    Unten links KachelX 54215 KachelY + 1 21283 2.05620537 0.92879270 117.811890 53.215902
    Unten rechts KachelX + 1 54216 KachelY + 1 21283 2.05630125 0.92879270 117.817383 53.215902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92885011-0.92879270) × R
    5.74099999999245e-05 × 6371000     		dl = 365.759109999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92885011-0.92879270) × R
    5.74099999999245e-05 × 6371000     		dr = 365.759109999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05620537-2.05630125) × cos(0.92885011) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.598755361595931 × 6371000     		do = 365.750598790264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05620537-2.05630125) × cos(0.92879270) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.598801342113452 × 6371000     		du = 365.778686057443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92885011)-sin(0.92879270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598755361595931-0.598801342113452)×R²
    abs(2.05630125-2.05620537)×4.59805175216932e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.59805175216932e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.59805175216932e-05×40589641000000     		ar = 133781.750119068m²