Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54215 / 14791
↖ ↑ ↗
← N 79.963240°
W 31.094055°		 ← 53.23 m → N 79.963240°
W 31.091308°		 →
↑
53.26 m
↓
↑
53.26 m
↓
N 79.962761°
W 31.094055°		 ← 53.23 m →
2 835 m²		 N 79.962761°
W 31.091308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413631439208984 y=0.112850189208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413631439208984 × 217)
    floor (0.413631439208984 × 131072)
    floor (54215.5)     		tx = 54215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112850189208984 × 217)
    floor (0.112850189208984 × 131072)
    floor (14791.5)     		ty = 14791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54215 / 14791 ti = "17/54215/14791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54215/14791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54215 ÷ 217
    54215 ÷ 131072     		x = 0.413627624511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14791 ÷ 217
    14791 ÷ 131072     		y = 0.112846374511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413627624511719 × 2 - 1) × π
    -0.172744750976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.54269364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112846374511719 × 2 - 1) × π
    0.774307250976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.43255797121975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54269364} λ = -0.54269364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43255797121975))-π/2
    2×atan(11.387974966971)-π/2
    2×1.48320906759251-π/2
    2.96641813518502-1.57079632675     		φ = 1.39562181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54269364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.094055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39562181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.963240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54215 KachelY 14791 -0.54269364 1.39562181 -31.094055 79.963240
    Oben rechts KachelX + 1 54216 KachelY 14791 -0.54264570 1.39562181 -31.091308 79.963240
    Unten links KachelX 54215 KachelY + 1 14792 -0.54269364 1.39561345 -31.094055 79.962761
    Unten rechts KachelX + 1 54216 KachelY + 1 14792 -0.54264570 1.39561345 -31.091308 79.962761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39562181-1.39561345) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dl = 53.2615600002584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39562181-1.39561345) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dr = 53.2615600002584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54269364--0.54264570) × cos(1.39562181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174279986260815 × 6371000     		do = 53.2295937708642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54269364--0.54264570) × cos(1.39561345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174288218314447 × 6371000     		du = 53.2321080519367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39562181)-sin(1.39561345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174279986260815-0.174288218314447)×R²
    abs(-0.54264570--0.54269364)×8.2320536327618e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.2320536327618e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.2320536327618e-06×40589641000000     		ar = 2835.15815967885m²