Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54213 / 23119
↖ ↑ ↗
← N 46.743625°
E117.800903°		 ← 418.59 m → N 46.743625°
E117.806397°		 →
↑
418.57 m
↓
↑
418.57 m
↓
N 46.739861°
E117.800903°		 ← 418.62 m →
175 219 m²		 N 46.739861°
E117.806397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827232360839844 y=0.352775573730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827232360839844 × 216)
    floor (0.827232360839844 × 65536)
    floor (54213.5)     		tx = 54213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352775573730469 × 216)
    floor (0.352775573730469 × 65536)
    floor (23119.5)     		ty = 23119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54213 / 23119 ti = "16/54213/23119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54213/23119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54213 ÷ 216
    54213 ÷ 65536     		x = 0.827224731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23119 ÷ 216
    23119 ÷ 65536     		y = 0.352767944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827224731445312 × 2 - 1) × π
    0.654449462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05601362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352767944335938 × 2 - 1) × π
    0.294464111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.925086288867844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05601362} λ = 2.05601362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.925086288867844))-π/2
    2×atan(2.52208587890408)-π/2
    2×1.19331324366207-π/2
    2.38662648732414-1.57079632675     		φ = 0.81583016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05601362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.800903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81583016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.743625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54213 KachelY 23119 2.05601362 0.81583016 117.800903 46.743625
    Oben rechts KachelX + 1 54214 KachelY 23119 2.05610950 0.81583016 117.806397 46.743625
    Unten links KachelX 54213 KachelY + 1 23120 2.05601362 0.81576446 117.800903 46.739861
    Unten rechts KachelX + 1 54214 KachelY + 1 23120 2.05610950 0.81576446 117.806397 46.739861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81583016-0.81576446) × R
    6.56999999999464e-05 × 6371000     		dl = 418.574699999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81583016-0.81576446) × R
    6.56999999999464e-05 × 6371000     		dr = 418.574699999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05601362-2.05610950) × cos(0.81583016) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.685264028504748 × 6371000     		do = 418.594546002613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05601362-2.05610950) × cos(0.81576446) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.685311875989394 × 6371000     		du = 418.623773709423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81583016)-sin(0.81576446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685264028504748-0.685311875989394)×R²
    abs(2.05610950-2.05601362)×4.78474846457022e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78474846457022e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78474846457022e-05×40589641000000     		ar = 175219.203566844m²