Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54212 / 12768
↖ ↑ ↗
← N 80.886759°
W 31.102295°		 ← 48.38 m → N 80.886759°
W 31.099548°		 →
↑
48.42 m
↓
↑
48.42 m
↓
N 80.886323°
W 31.102295°		 ← 48.38 m →
2 342 m²		 N 80.886323°
W 31.099548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413608551025391 y=0.0974159240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413608551025391 × 217)
    floor (0.413608551025391 × 131072)
    floor (54212.5)     		tx = 54212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0974159240722656 × 217)
    floor (0.0974159240722656 × 131072)
    floor (12768.5)     		ty = 12768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54212 / 12768 ti = "17/54212/12768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54212/12768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54212 ÷ 217
    54212 ÷ 131072     		x = 0.413604736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12768 ÷ 217
    12768 ÷ 131072     		y = 0.097412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413604736328125 × 2 - 1) × π
    -0.17279052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54283745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097412109375 × 2 - 1) × π
    0.80517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52953431915112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54283745} λ = -0.54283745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52953431915112))-π/2
    2×atan(12.5476615702311)-π/2
    2×1.49126829132748-π/2
    2.98253658265495-1.57079632675     		φ = 1.41174026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54283745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.102295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41174026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.886759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54212 KachelY 12768 -0.54283745 1.41174026 -31.102295 80.886759
    Oben rechts KachelX + 1 54213 KachelY 12768 -0.54278951 1.41174026 -31.099548 80.886759
    Unten links KachelX 54212 KachelY + 1 12769 -0.54283745 1.41173266 -31.102295 80.886323
    Unten rechts KachelX + 1 54213 KachelY + 1 12769 -0.54278951 1.41173266 -31.099548 80.886323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41174026-1.41173266) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dl = 48.4195999999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41174026-1.41173266) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dr = 48.4195999999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54283745--0.54278951) × cos(1.41174026) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.158386259161825 × 6371000     		do = 48.3752404104125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54283745--0.54278951) × cos(1.41173266) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.158393763224193 × 6371000     		du = 48.3775323442143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41174026)-sin(1.41173266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158386259161825-0.158393763224193)×R²
    abs(-0.54278951--0.54283745)×7.50406236829648e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.50406236829648e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.50406236829648e-06×40589641000000     		ar = 2342.3652776409m²