Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54207 / 23108
↖ ↑ ↗
← N 46.785016°
E117.767944°		 ← 418.27 m → N 46.785016°
E117.773438°		 →
↑
418.26 m
↓
↑
418.26 m
↓
N 46.781255°
E117.767944°		 ← 418.30 m →
174 951 m²		 N 46.781255°
E117.773438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827140808105469 y=0.352607727050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827140808105469 × 216)
    floor (0.827140808105469 × 65536)
    floor (54207.5)     		tx = 54207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352607727050781 × 216)
    floor (0.352607727050781 × 65536)
    floor (23108.5)     		ty = 23108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54207 / 23108 ti = "16/54207/23108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54207/23108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54207 ÷ 216
    54207 ÷ 65536     		x = 0.827133178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23108 ÷ 216
    23108 ÷ 65536     		y = 0.35260009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827133178710938 × 2 - 1) × π
    0.654266357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05543838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35260009765625 × 2 - 1) × π
    0.2947998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.926140900659485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05543838} λ = 2.05543838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926140900659485))-π/2
    2×atan(2.52474710344424)-π/2
    2×1.19367444866006-π/2
    2.38734889732012-1.57079632675     		φ = 0.81655257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05543838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.767944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81655257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.785016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54207 KachelY 23108 2.05543838 0.81655257 117.767944 46.785016
    Oben rechts KachelX + 1 54208 KachelY 23108 2.05553426 0.81655257 117.773438 46.785016
    Unten links KachelX 54207 KachelY + 1 23109 2.05543838 0.81648692 117.767944 46.781255
    Unten rechts KachelX + 1 54208 KachelY + 1 23109 2.05553426 0.81648692 117.773438 46.781255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81655257-0.81648692) × R
    6.56500000000282e-05 × 6371000     		dl = 418.25615000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81655257-0.81648692) × R
    6.56500000000282e-05 × 6371000     		dr = 418.25615000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05543838-2.05553426) × cos(0.81655257) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.684737722344366 × 6371000     		do = 418.273051105611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05543838-2.05553426) × cos(0.81648692) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.684785565904661 × 6371000     		du = 418.302276415226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81655257)-sin(0.81648692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684737722344366-0.684785565904661)×R²
    abs(2.05553426-2.05543838)×4.78435602949689e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78435602949689e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78435602949689e-05×40589641000000     		ar = 174951.38789997m²