Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54206 / 21166
↖ ↑ ↗
← N 53.599025°
E117.762451°		 ← 362.46 m → N 53.599025°
E117.767944°		 →
↑
362.51 m
↓
↑
362.51 m
↓
N 53.595765°
E117.762451°		 ← 362.49 m →
131 401 m²		 N 53.595765°
E117.767944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827125549316406 y=0.322975158691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827125549316406 × 216)
    floor (0.827125549316406 × 65536)
    floor (54206.5)     		tx = 54206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322975158691406 × 216)
    floor (0.322975158691406 × 65536)
    floor (21166.5)     		ty = 21166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54206 / 21166 ti = "16/54206/21166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54206/21166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54206 ÷ 216
    54206 ÷ 65536     		x = 0.827117919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21166 ÷ 216
    21166 ÷ 65536     		y = 0.322967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827117919921875 × 2 - 1) × π
    0.65423583984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05534251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322967529296875 × 2 - 1) × π
    0.35406494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11232781878378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05534251} λ = 2.05534251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11232781878378))-π/2
    2×atan(3.04143005848588)-π/2
    2×1.25313789406926-π/2
    2.50627578813851-1.57079632675     		φ = 0.93547946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05534251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.762451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93547946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.599025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54206 KachelY 21166 2.05534251 0.93547946 117.762451 53.599025
    Oben rechts KachelX + 1 54207 KachelY 21166 2.05543838 0.93547946 117.767944 53.599025
    Unten links KachelX 54206 KachelY + 1 21167 2.05534251 0.93542256 117.762451 53.595765
    Unten rechts KachelX + 1 54207 KachelY + 1 21167 2.05543838 0.93542256 117.767944 53.595765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93547946-0.93542256) × R
    5.69000000000264e-05 × 6371000     		dl = 362.509900000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93547946-0.93542256) × R
    5.69000000000264e-05 × 6371000     		dr = 362.509900000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05534251-2.05543838) × cos(0.93547946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.593432585060802 × 6371000     		do = 362.461365274615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05534251-2.05543838) × cos(0.93542256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.593478381982531 × 6371000     		du = 362.48933747431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93547946)-sin(0.93542256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593432585060802-0.593478381982531)×R²
    abs(2.05543838-2.05534251)×4.57969217285692e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57969217285692e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57969217285692e-05×40589641000000     		ar = 131400.903414944m²