Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54204 / 50085
↖ ↑ ↗
← S 68.473880°
E117.751465°		 ← 224.11 m → S 68.473880°
E117.756958°		 →
↑
224.13 m
↓
↑
224.13 m
↓
S 68.475895°
E117.751465°		 ← 224.09 m →
50 229 m²		 S 68.475895°
E117.756958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827095031738281 y=0.764244079589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827095031738281 × 216)
    floor (0.827095031738281 × 65536)
    floor (54204.5)     		tx = 54204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764244079589844 × 216)
    floor (0.764244079589844 × 65536)
    floor (50085.5)     		ty = 50085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54204 / 50085 ti = "16/54204/50085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54204/50085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54204 ÷ 216
    54204 ÷ 65536     		x = 0.82708740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50085 ÷ 216
    50085 ÷ 65536     		y = 0.764236450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82708740234375 × 2 - 1) × π
    0.6541748046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05515076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764236450195312 × 2 - 1) × π
    -0.528472900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66024658144102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05515076} λ = 2.05515076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66024658144102))-π/2
    2×atan(0.190092101137791)-π/2
    2×0.187850837143872-π/2
    0.375701674287745-1.57079632675     		φ = -1.19509465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05515076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.751465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19509465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.473880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54204 KachelY 50085 2.05515076 -1.19509465 117.751465 -68.473880
    Oben rechts KachelX + 1 54205 KachelY 50085 2.05524663 -1.19509465 117.756958 -68.473880
    Unten links KachelX 54204 KachelY + 1 50086 2.05515076 -1.19512983 117.751465 -68.475895
    Unten rechts KachelX + 1 54205 KachelY + 1 50086 2.05524663 -1.19512983 117.756958 -68.475895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19509465--1.19512983) × R
    3.51800000000235e-05 × 6371000     		dl = 224.13178000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19509465--1.19512983) × R
    3.51800000000235e-05 × 6371000     		dr = 224.13178000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05515076-2.05524663) × cos(-1.19509465) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366925354471045 × 6371000     		do = 224.113519013824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05515076-2.05524663) × cos(-1.19512983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366892628035345 × 6371000     		du = 224.093530107143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19509465)-sin(-1.19512983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366925354471045-0.366892628035345)×R²
    abs(2.05524663-2.05515076)×3.27264357000701e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27264357000701e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27264357000701e-05×40589641000000     		ar = 50228.7218693126m²