Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54204 / 21311
↖ ↑ ↗
← N 53.123702°
E117.751465°		 ← 366.53 m → N 53.123702°
E117.756958°		 →
↑
366.59 m
↓
↑
366.59 m
↓
N 53.120405°
E117.751465°		 ← 366.56 m →
134 369 m²		 N 53.120405°
E117.756958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827095031738281 y=0.325187683105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827095031738281 × 216)
    floor (0.827095031738281 × 65536)
    floor (54204.5)     		tx = 54204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325187683105469 × 216)
    floor (0.325187683105469 × 65536)
    floor (21311.5)     		ty = 21311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54204 / 21311 ti = "16/54204/21311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54204/21311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54204 ÷ 216
    54204 ÷ 65536     		x = 0.82708740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21311 ÷ 216
    21311 ÷ 65536     		y = 0.325180053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82708740234375 × 2 - 1) × π
    0.6541748046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05515076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325180053710938 × 2 - 1) × π
    0.349639892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09842611789397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05515076} λ = 2.05515076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09842611789397))-π/2
    2×atan(2.99944153966368)-π/2
    2×1.24898991700677-π/2
    2.49797983401355-1.57079632675     		φ = 0.92718351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05515076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.751465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92718351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.123702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54204 KachelY 21311 2.05515076 0.92718351 117.751465 53.123702
    Oben rechts KachelX + 1 54205 KachelY 21311 2.05524663 0.92718351 117.756958 53.123702
    Unten links KachelX 54204 KachelY + 1 21312 2.05515076 0.92712597 117.751465 53.120405
    Unten rechts KachelX + 1 54205 KachelY + 1 21312 2.05524663 0.92712597 117.756958 53.120405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92718351-0.92712597) × R
    5.75400000000226e-05 × 6371000     		dl = 366.587340000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92718351-0.92712597) × R
    5.75400000000226e-05 × 6371000     		dr = 366.587340000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05515076-2.05524663) × cos(0.92718351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600089362657501 × 6371000     		do = 366.527243618288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05515076-2.05524663) × cos(0.92712597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600135389807178 × 6371000     		du = 366.555356438399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92718351)-sin(0.92712597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600089362657501-0.600135389807178)×R²
    abs(2.05524663-2.05515076)×4.60271496769415e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60271496769415e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60271496769415e-05×40589641000000     		ar = 134369.400214832m²