Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54202 / 50088
↖ ↑ ↗
← S 68.479925°
E117.740478°		 ← 224.08 m → S 68.479925°
E117.745972°		 →
↑
224.07 m
↓
↑
224.07 m
↓
S 68.481941°
E117.740478°		 ← 224.06 m →
50 206 m²		 S 68.481941°
E117.745972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827064514160156 y=0.764289855957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827064514160156 × 216)
    floor (0.827064514160156 × 65536)
    floor (54202.5)     		tx = 54202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764289855957031 × 216)
    floor (0.764289855957031 × 65536)
    floor (50088.5)     		ty = 50088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54202 / 50088 ti = "16/54202/50088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54202/50088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54202 ÷ 216
    54202 ÷ 65536     		x = 0.827056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50088 ÷ 216
    50088 ÷ 65536     		y = 0.7642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827056884765625 × 2 - 1) × π
    0.65411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05495901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.528564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66053420283875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05495901} λ = 2.05495901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66053420283875))-π/2
    2×atan(0.190037434443998)-π/2
    2×0.187798076411293-π/2
    0.375596152822586-1.57079632675     		φ = -1.19520017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05495901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.740478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19520017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.479925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54202 KachelY 50088 2.05495901 -1.19520017 117.740478 -68.479925
    Oben rechts KachelX + 1 54203 KachelY 50088 2.05505489 -1.19520017 117.745972 -68.479925
    Unten links KachelX 54202 KachelY + 1 50089 2.05495901 -1.19523534 117.740478 -68.481941
    Unten rechts KachelX + 1 54203 KachelY + 1 50089 2.05505489 -1.19523534 117.745972 -68.481941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19520017--1.19523534) × R
    3.51700000000843e-05 × 6371000     		dl = 224.068070000537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19520017--1.19523534) × R
    3.51700000000843e-05 × 6371000     		dr = 224.068070000537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05495901-2.05505489) × cos(-1.19520017) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.366827192407533 × 6371000     		do = 224.076933386239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05495901-2.05505489) × cos(-1.19523534) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.366794473912998 × 6371000     		du = 224.056947245429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19520017)-sin(-1.19523534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366827192407533-0.366794473912998)×R²
    abs(2.05505489-2.05495901)×3.27184945350667e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.27184945350667e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.27184945350667e-05×40589641000000     		ar = 50206.2468728854m²