Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54202 / 21317
↖ ↑ ↗
← N 53.103919°
E117.740478°		 ← 366.73 m → N 53.103919°
E117.745972°		 →
↑
366.71 m
↓
↑
366.71 m
↓
N 53.100621°
E117.740478°		 ← 366.76 m →
134 492 m²		 N 53.100621°
E117.745972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827064514160156 y=0.325279235839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827064514160156 × 216)
    floor (0.827064514160156 × 65536)
    floor (54202.5)     		tx = 54202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325279235839844 × 216)
    floor (0.325279235839844 × 65536)
    floor (21317.5)     		ty = 21317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54202 / 21317 ti = "16/54202/21317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54202/21317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54202 ÷ 216
    54202 ÷ 65536     		x = 0.827056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21317 ÷ 216
    21317 ÷ 65536     		y = 0.325271606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827056884765625 × 2 - 1) × π
    0.65411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05495901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325271606445312 × 2 - 1) × π
    0.349456787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09785087509853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05495901} λ = 2.05495901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09785087509853))-π/2
    2×atan(2.99771662869651)-π/2
    2×1.24881727875113-π/2
    2.49763455750226-1.57079632675     		φ = 0.92683823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05495901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.740478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92683823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.103919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54202 KachelY 21317 2.05495901 0.92683823 117.740478 53.103919
    Oben rechts KachelX + 1 54203 KachelY 21317 2.05505489 0.92683823 117.745972 53.103919
    Unten links KachelX 54202 KachelY + 1 21318 2.05495901 0.92678067 117.740478 53.100621
    Unten rechts KachelX + 1 54203 KachelY + 1 21318 2.05505489 0.92678067 117.745972 53.100621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92683823-0.92678067) × R
    5.7560000000012e-05 × 6371000     		dl = 366.714760000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92683823-0.92678067) × R
    5.7560000000012e-05 × 6371000     		dr = 366.714760000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05495901-2.05505489) × cos(0.92683823) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.600365527737156 × 6371000     		do = 366.734171158982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05495901-2.05505489) × cos(0.92678067) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.600411558955234 × 6371000     		du = 366.762289396671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92683823)-sin(0.92678067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600365527737156-0.600411558955234)×R²
    abs(2.05505489-2.05495901)×4.6031218077669e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.6031218077669e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.6031218077669e-05×40589641000000     		ar = 134491.989283516m²