Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54201 / 12803
↖ ↑ ↗
← N 80.871520°
W 31.132507°		 ← 48.46 m → N 80.871520°
W 31.129761°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
N 80.871084°
W 31.132507°		 ← 48.46 m →
2 349 m²		 N 80.871084°
W 31.129761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413524627685547 y=0.0976829528808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413524627685547 × 217)
    floor (0.413524627685547 × 131072)
    floor (54201.5)     		tx = 54201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0976829528808594 × 217)
    floor (0.0976829528808594 × 131072)
    floor (12803.5)     		ty = 12803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54201 / 12803 ti = "17/54201/12803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54201/12803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54201 ÷ 217
    54201 ÷ 131072     		x = 0.413520812988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12803 ÷ 217
    12803 ÷ 131072     		y = 0.0976791381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413520812988281 × 2 - 1) × π
    -0.172958374023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.54336476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0976791381835938 × 2 - 1) × π
    0.804641723632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.52785652766442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54336476} λ = -0.54336476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52785652766442))-π/2
    2×atan(12.5266268613326)-π/2
    2×1.49113531164947-π/2
    2.98227062329894-1.57079632675     		φ = 1.41147430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54336476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.132507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41147430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.871520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54201 KachelY 12803 -0.54336476 1.41147430 -31.132507 80.871520
    Oben rechts KachelX + 1 54202 KachelY 12803 -0.54331682 1.41147430 -31.129761 80.871520
    Unten links KachelX 54201 KachelY + 1 12804 -0.54336476 1.41146669 -31.132507 80.871084
    Unten rechts KachelX + 1 54202 KachelY + 1 12804 -0.54331682 1.41146669 -31.129761 80.871084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41147430-1.41146669) × R
    7.61000000015777e-06 × 6371000     		dl = 48.4833100010051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41147430-1.41146669) × R
    7.61000000015777e-06 × 6371000     		dr = 48.4833100010051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54336476--0.54331682) × cos(1.41147430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158648856404925 × 6371000     		do = 48.4554443675963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54336476--0.54331682) × cos(1.41146669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158656370020214 × 6371000     		du = 48.4577392191059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41147430)-sin(1.41146669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158648856404925-0.158656370020214)×R²
    abs(-0.54331682--0.54336476)×7.51361528858463e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.51361528858463e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.51361528858463e-06×40589641000000     		ar = 2349.33596164925m²